微分積分学準備例

$(1 - \cos (θ)) (\csc (θ) + \cot (θ))$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

正弦と余弦に関して $\csc (θ)$ を書き換えます。

$(1 - \cos (θ)) (\frac{1}{\sin (θ)} + \cot (θ))$

ステップ 1.2

正弦と余弦に関して $\cot (θ)$ を書き換えます。

$(1 - \cos (θ)) (\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

ステップ 2

分配法則（FOIL法）を使って $(1 - \cos (θ)) (\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$ を展開します。

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ステップ 2.1

分配則を当てはめます。

$1 (\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) - \cos (θ) (\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

ステップ 2.2

分配則を当てはめます。

$1 \frac{1}{\sin (θ)} + 1 \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} - \cos (θ) (\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

ステップ 2.3

分配則を当てはめます。

$1 \frac{1}{\sin (θ)} + 1 \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} - \cos (θ) \frac{1}{\sin (θ)} - \cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

ステップ 3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$\frac{1}{\sin (θ)}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{\sin (θ)} + 1 \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} - \cos (θ) \frac{1}{\sin (θ)} - \cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

ステップ 3.1.2

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} - \cos (θ) \frac{1}{\sin (θ)} - \cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

ステップ 3.1.3

$\frac{1}{\sin (θ)}$ と $\cos (θ)$ をまとめます。

$\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} - \cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

ステップ 3.1.4

$- \cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ を掛けます。

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ステップ 3.1.4.1

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ と $\cos (θ)$ をまとめます。

$\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ) \cos (θ)}{\sin (θ)}$

ステップ 3.1.4.2

$\cos (θ)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} - \frac{\cos^{1} (θ) \cos (θ)}{\sin (θ)}$

ステップ 3.1.4.3

$\cos (θ)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} - \frac{\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)}{\sin (θ)}$

ステップ 3.1.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} - \frac{{\cos (θ)}^{1 + 1}}{\sin (θ)}$

ステップ 3.1.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} - \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}$

ステップ 3.2

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ から $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ を引きます。

$\frac{1}{\sin (θ)} + 0 - \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}$

ステップ 3.3

$\frac{1}{\sin (θ)}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{\sin (θ)} - \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}$

ステップ 4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 - \cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}$

ステップ 5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\sin (θ)}$

ステップ 6

$\sin^{2} (θ)$ と $\sin (θ)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1

$\sin (θ)$ を $\sin^{2} (θ)$ で因数分解します。

$\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\sin (θ)}$

ステップ 6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1

$1$ を掛けます。

$\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\sin (θ) \cdot 1}$

ステップ 6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\sin (θ) \cdot 1}$

ステップ 6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\sin (θ)}{1}$

ステップ 6.2.4

$\sin (θ)$ を $1$ で割ります。

$\sin (θ)$

微分積分学準備 例

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