微分積分学準備例

$y = \frac{3 x + 2}{4 x - 7}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{3 x + 2}{4 x - 7})$

ステップ 2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (y) = 3 x + 2$ および $g (y) = 4 x - 7$ のとき、 $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ は $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(4 x - 7) \frac{d}{d y} [3 x + 2] - (3 x + 2) \frac{d}{d y} [4 x - 7]}{{(4 x - 7)}^{2}}$

ステップ 3.2

微分します。

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ステップ 3.2.1

総和則では、 $3 x + 2$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [2]$ です。

$\frac{(4 x - 7) (\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [2]) - (3 x + 2) \frac{d}{d y} [4 x - 7]}{{(4 x - 7)}^{2}}$

ステップ 3.2.2

$3$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d y} [x]$ です。

$\frac{(4 x - 7) (3 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2]) - (3 x + 2) \frac{d}{d y} [4 x - 7]}{{(4 x - 7)}^{2}}$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$\frac{(4 x - 7) (3 x' + \frac{d}{d y} [2]) - (3 x + 2) \frac{d}{d y} [4 x - 7]}{{(4 x - 7)}^{2}}$

ステップ 3.4

$2$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(4 x - 7) (3 x' + 0) - (3 x + 2) \frac{d}{d y} [4 x - 7]}{{(4 x - 7)}^{2}}$

ステップ 3.5

式を簡約します。

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ステップ 3.5.1

$3 x'$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(4 x - 7) (3 x') - (3 x + 2) \frac{d}{d y} [4 x - 7]}{{(4 x - 7)}^{2}}$

ステップ 3.5.2

$3$ を $4 x - 7$ の左に移動させます。

$\frac{3 \cdot (4 x - 7) x' - (3 x + 2) \frac{d}{d y} [4 x - 7]}{{(4 x - 7)}^{2}}$

ステップ 3.6

総和則では、 $4 x - 7$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 7]$ です。

$\frac{3 (4 x - 7) x' - (3 x + 2) (\frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 7])}{{(4 x - 7)}^{2}}$

ステップ 3.7

$4$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d y} [x]$ です。

$\frac{3 (4 x - 7) x' - (3 x + 2) (4 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 7])}{{(4 x - 7)}^{2}}$

ステップ 3.8

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$\frac{3 (4 x - 7) x' - (3 x + 2) (4 x' + \frac{d}{d y} [- 7])}{{(4 x - 7)}^{2}}$

ステップ 3.9

$- 7$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- 7$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{3 (4 x - 7) x' - (3 x + 2) (4 x' + 0)}{{(4 x - 7)}^{2}}$

ステップ 3.10

式を簡約します。

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ステップ 3.10.1

$4 x'$ と $0$ をたし算します。

$\frac{3 (4 x - 7) x' - (3 x + 2) (4 x')}{{(4 x - 7)}^{2}}$

ステップ 3.10.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{3 (4 x - 7) x' - 4 (3 x + 2) x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

ステップ 3.11

簡約します。

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ステップ 3.11.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(3 (4 x) + 3 \cdot - 7) x' - 4 (3 x + 2) x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

ステップ 3.11.2

分配則を当てはめます。

$\frac{3 (4 x) x' + 3 \cdot - 7 x' - 4 (3 x + 2) x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

ステップ 3.11.3

分配則を当てはめます。

$\frac{3 (4 x) x' + 3 \cdot - 7 x' + (- 4 (3 x) - 4 \cdot 2) x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

ステップ 3.11.4

分配則を当てはめます。

$\frac{3 (4 x) x' + 3 \cdot - 7 x' - 4 (3 x) x' - 4 \cdot 2 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

ステップ 3.11.5

分子を簡約します。

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ステップ 3.11.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.11.5.1.1

$4$ に $3$ をかけます。

$\frac{12 x x' + 3 \cdot - 7 x' - 4 (3 x) x' - 4 \cdot 2 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

ステップ 3.11.5.1.2

$3$ に $- 7$ をかけます。

$\frac{12 x x' - 21 x' - 4 (3 x) x' - 4 \cdot 2 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

ステップ 3.11.5.1.3

$3$ に $- 4$ をかけます。

$\frac{12 x x' - 21 x' - 12 x x' - 4 \cdot 2 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

ステップ 3.11.5.1.4

$- 4$ に $2$ をかけます。

$\frac{12 x x' - 21 x' - 12 x x' - 8 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

ステップ 3.11.5.2

$12 x x' - 21 x' - 12 x x' - 8 x'$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 3.11.5.2.1

$12 x x'$ から $12 x x'$ を引きます。

$\frac{0 - 21 x' - 8 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

ステップ 3.11.5.2.2

$0$ から $21 x'$ を引きます。

$\frac{- 21 x' - 8 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

ステップ 3.11.5.3

$- 21 x'$ から $8 x'$ を引きます。

$\frac{- 29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

ステップ 3.11.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$1 = - \frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

ステップ 5

$x'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式を $- \frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}} = 1$ として書き換えます。

$- \frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}} = 1$

ステップ 5.2

$- \frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}} = 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.1

$- \frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}} = 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

ステップ 5.2.2.2

$\frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$ を $1$ で割ります。

$\frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}} = \frac{1}{- 1}$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

$1$ を $- 1$ で割ります。

$\frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}} = - 1$

ステップ 5.3

両辺に ${(4 x - 7)}^{2}$ を掛けます。

$\frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}} {(4 x - 7)}^{2} = - {(4 x - 7)}^{2}$

ステップ 5.4

左辺を簡約します。

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ステップ 5.4.1

${(4 x - 7)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}} {(4 x - 7)}^{2} = - {(4 x - 7)}^{2}$

ステップ 5.4.1.2

式を書き換えます。

$29 x' = - {(4 x - 7)}^{2}$

ステップ 5.5

$29 x' = - {(4 x - 7)}^{2}$ の各項を $29$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.5.1

$29 x' = - {(4 x - 7)}^{2}$ の各項を $29$ で割ります。

$\frac{29 x'}{29} = \frac{- {(4 x - 7)}^{2}}{29}$

ステップ 5.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.5.2.1

$29$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{29 x'}{29} = \frac{- {(4 x - 7)}^{2}}{29}$

ステップ 5.5.2.1.2

$x'$ を $1$ で割ります。

$x' = \frac{- {(4 x - 7)}^{2}}{29}$

ステップ 5.5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.5.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x' = - \frac{{(4 x - 7)}^{2}}{29}$

ステップ 6

$x'$ を $\frac{d x}{d y}$ で置き換えます。

$\frac{d x}{d y} = - \frac{{(4 x - 7)}^{2}}{29}$

微分積分学準備 例

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