微分積分学準備例

$\log_{4} (x - 4) + 2 \log_{4} (x + 4) - \log_{4} (x^{3} + 2 x^{2} - 16 x - 32)$

ステップ 1

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$2 \log_{4} (x + 4) + \log_{4} (\frac{x - 4}{x^{3} + 2 x^{2} - 16 x - 32})$

ステップ 2

各項を簡約します。

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ステップ 2.1

対数の中の $2$ を移動させて $2 \log_{4} (x + 4)$ を簡約します。

$\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) + \log_{4} (\frac{x - 4}{x^{3} + 2 x^{2} - 16 x - 32})$

ステップ 2.2

分母を簡約します。

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ステップ 2.2.1

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.2.1.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) + \log_{4} (\frac{x - 4}{(x^{3} + 2 x^{2}) - 16 x - 32})$

ステップ 2.2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) + \log_{4} (\frac{x - 4}{x^{2} (x + 2) - 16 (x + 2)})$

ステップ 2.2.2

最大公約数 $x + 2$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) + \log_{4} (\frac{x - 4}{(x + 2) (x^{2} - 16)})$

ステップ 2.2.3

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) + \log_{4} (\frac{x - 4}{(x + 2) (x^{2} - 4^{2})})$

ステップ 2.2.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 4$ です。

$\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) + \log_{4} (\frac{x - 4}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)})$

ステップ 2.3

$x - 4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1

共通因数を約分します。

$\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) + \log_{4} (\frac{x - 4}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)})$

ステップ 2.3.2

式を書き換えます。

$\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) + \log_{4} (\frac{1}{(x + 2) (x + 4)})$

ステップ 3

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\log_{4} ({(x + 4)}^{2} \frac{1}{(x + 2) (x + 4)})$

ステップ 4

$x + 4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1

$x + 4$ を ${(x + 4)}^{2}$ で因数分解します。

$\log_{4} ((x + 4) (x + 4) \frac{1}{(x + 2) (x + 4)})$

ステップ 4.2

$x + 4$ を $(x + 2) (x + 4)$ で因数分解します。

$\log_{4} ((x + 4) (x + 4) \frac{1}{(x + 4) (x + 2)})$

ステップ 4.3

共通因数を約分します。

$\log_{4} ((x + 4) (x + 4) \frac{1}{(x + 4) (x + 2)})$

ステップ 4.4

式を書き換えます。

$\log_{4} ((x + 4) \frac{1}{x + 2})$

ステップ 5

$x + 4$ に $\frac{1}{x + 2}$ をかけます。

$\log_{4} (\frac{x + 4}{x + 2})$

微分積分学準備 例

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