微分積分学準備例

$\frac{e^{x} + 100 e^{- x}}{2} = 10$

ステップ 1

両辺に $2$ を掛けます。

$\frac{e^{x} + 100 e^{- x}}{2} \cdot 2 = 10 \cdot 2$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{x} + 100 e^{- x}}{2} \cdot 2 = 10 \cdot 2$

ステップ 2.1.1.2

式を書き換えます。

$e^{x} + 100 e^{- x} = 10 \cdot 2$

ステップ 2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$10$ に $2$ をかけます。

$e^{x} + 100 e^{- x} = 20$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

$e^{- x}$ を累乗法として書き換えます。

$e^{x} + 100 {(e^{x})}^{- 1} = 20$

ステップ 3.2

$u$ を $e^{x}$ に代入します。

$u + 100 u^{- 1} = 20$

ステップ 3.3

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$u + 100 (\frac{1}{u}) = 20$

ステップ 3.3.2

$100$ と $\frac{1}{u}$ をまとめます。

$u + \frac{100}{u} = 20$

ステップ 3.4

$u$ について解きます。

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ステップ 3.4.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 3.4.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$1, u, 1$

ステップ 3.4.1.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$u$

ステップ 3.4.2

$u + \frac{100}{u} = 20$ の各項に $u$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 3.4.2.1

$u + \frac{100}{u} = 20$ の各項に $u$ を掛けます。

$u \cdot u + \frac{100}{u} u = 20 u$

ステップ 3.4.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.4.2.2.1.1

$u$ に $u$ をかけます。

$u^{2} + \frac{100}{u} u = 20 u$

ステップ 3.4.2.2.1.2

$u$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$u^{2} + \frac{100}{u} u = 20 u$

ステップ 3.4.2.2.1.2.2

式を書き換えます。

$u^{2} + 100 = 20 u$

ステップ 3.4.3

方程式を解きます。

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ステップ 3.4.3.1

方程式の両辺から $20 u$ を引きます。

$u^{2} + 100 - 20 u = 0$

ステップ 3.4.3.2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 3.4.3.2.1

項を並べ替えます。

$u^{2} - 20 u + 100 = 0$

ステップ 3.4.3.2.2

$100$ を $10^{2}$ に書き換えます。

$u^{2} - 20 u + 10^{2} = 0$

ステップ 3.4.3.2.3

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$20 u = 2 \cdot u \cdot 10$

ステップ 3.4.3.2.4

多項式を書き換えます。

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 10 + 10^{2} = 0$

ステップ 3.4.3.2.5

$a = u$ と $b = 10$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

${(u - 10)}^{2} = 0$

ステップ 3.4.3.3

$u - 10$ が $0$ に等しいとします。

$u - 10 = 0$

ステップ 3.4.3.4

方程式の両辺に $10$ を足します。

$u = 10$

ステップ 3.5

$10$ を $u = e^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$10 = e^{x}$

ステップ 3.6

$10 = e^{x}$ を解きます。

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ステップ 3.6.1

方程式を $e^{x} = 10$ として書き換えます。

$e^{x} = 10$

ステップ 3.6.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (10)$

ステップ 3.6.3

左辺を展開します。

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ステップ 3.6.3.1

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{x})$ を展開します。

$x \ln (e) = \ln (10)$

ステップ 3.6.3.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$x \cdot 1 = \ln (10)$

ステップ 3.6.3.3

$x$ に $1$ をかけます。

$x = \ln (10)$

ステップ 4

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \ln (10)$

10進法形式：

$x = 2.30258509 \dots$

微分積分学準備 例

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