微分積分学準備例

$(3 x + 2) (x - 4) > 0$

ステップ 1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$3 x + 2 = 0$

$x - 4 = 0$

ステップ 2

$3 x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.1

$3 x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$3 x + 2 = 0$

ステップ 2.2

$x$ について $3 x + 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.2.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$3 x = - 2$

ステップ 2.2.2

$3 x = - 2$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$3 x = - 2$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

ステップ 2.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

ステップ 2.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 2}{3}$

ステップ 2.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{2}{3}$

ステップ 3

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 3.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 4

最終解は $(3 x + 2) (x - 4) > 0$ を真にするすべての値です。

$x = - \frac{2}{3}, 4$

ステップ 5

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - \frac{2}{3}$

$- \frac{2}{3} < x < 4$

$x > 4$

ステップ 6

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 6.1

区間 $x < - \frac{2}{3}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.1.1

区間 $x < - \frac{2}{3}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 3$

ステップ 6.1.2

$x$ を元の不等式の $- 3$ で置き換えます。

$(3 (- 3) + 2) ((- 3) - 4) > 0$

ステップ 6.1.3

左辺 $49$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 6.2

区間 $- \frac{2}{3} < x < 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.2.1

区間 $- \frac{2}{3} < x < 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 6.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$(3 (0) + 2) ((0) - 4) > 0$

ステップ 6.2.3

左辺 $- 8$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 6.3

区間 $x > 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.3.1

区間 $x > 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 6.3.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

$(3 (6) + 2) ((6) - 4) > 0$

ステップ 6.3.3

左辺 $40$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 6.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - \frac{2}{3}$ 真

$- \frac{2}{3} < x < 4$ 偽

$x > 4$ 真

$x < - \frac{2}{3}$ 真

$- \frac{2}{3} < x < 4$ 偽

$x > 4$ 真

ステップ 7

解はすべての真の区間からなります。

$x < - \frac{2}{3}$ または $x > 4$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$x < - \frac{2}{3} or x > 4$

区間記号：

$(- \infty, - \frac{2}{3}) \cup (4, \infty)$

ステップ 9

微分積分学準備 例

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