微分積分学準備例

$y = \frac{2 x}{x - 3}$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = \frac{2 y}{y - 3}$

ステップ 2

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式に $y - 3$ を掛けます。

$(y - 3) (x) = (\frac{2 y}{y - 3}) (y - 3)$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

分配則を当てはめます。

$y x - 3 x = (\frac{2 y}{y - 3}) (y - 3)$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$y - 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

共通因数を約分します。

$y x - 3 x = \frac{2 y}{y - 3} (y - 3)$

ステップ 2.3.1.2

式を書き換えます。

$y x - 3 x = 2 y$

ステップ 2.4

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

方程式の両辺から $2 y$ を引きます。

$y x - 3 x - 2 y = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺に $3 x$ を足します。

$y x - 2 y = 3 x$

ステップ 2.4.3

$y$ を $y x - 2 y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.1

$y$ を $y x$ で因数分解します。

$y (x) - 2 y = 3 x$

ステップ 2.4.3.2

$y$ を $- 2 y$ で因数分解します。

$y (x) + y \cdot - 2 = 3 x$

ステップ 2.4.3.3

$y$ を $y (x) + y \cdot - 2$ で因数分解します。

$y (x - 2) = 3 x$

ステップ 2.4.4

$y (x - 2) = 3 x$ の各項を $x - 2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.4.1

$y (x - 2) = 3 x$ の各項を $x - 2$ で割ります。

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{3 x}{x - 2}$

ステップ 2.4.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.4.2.1

$x - 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{3 x}{x - 2}$

ステップ 2.4.4.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{3 x}{x - 2}$

ステップ 3

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{x - 2}$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{x - 2}$ が $f (x) = \frac{2 x}{x - 3}$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 4.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{3 (\frac{2 x}{x - 3})}{(\frac{2 x}{x - 3}) - 2}$

ステップ 4.2.3

$3$ と $\frac{2 x}{x - 3}$ をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 x}{x - 3} - 2}$

ステップ 4.2.4

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1

$- 2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - 3}{x - 3}$ を掛けます。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 x}{x - 3} - 2 \cdot \frac{x - 3}{x - 3}}$

ステップ 4.2.4.2

$- 2$ と $\frac{x - 3}{x - 3}$ をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 x}{x - 3} + \frac{- 2 (x - 3)}{x - 3}}$

ステップ 4.2.4.3

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 x - 2 (x - 3)}{x - 3}}$

ステップ 4.2.4.4

因数分解した形で $\frac{2 x - 2 (x - 3)}{x - 3}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.4.1

$2$ を $2 x - 2 (x - 3)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.4.1.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 (x) - 2 (x - 3)}{x - 3}}$

ステップ 4.2.4.4.1.2

$2$ を $- 2 (x - 3)$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 (x) + 2 (- (x - 3))}{x - 3}}$

ステップ 4.2.4.4.1.3

$2$ を $2 (x) + 2 (- (x - 3))$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 (x - (x - 3))}{x - 3}}$

ステップ 4.2.4.4.2

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 (x - x + 3)}{x - 3}}$

ステップ 4.2.4.4.3

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 (x - x + 3)}{x - 3}}$

ステップ 4.2.4.4.4

$x$ から $x$ を引きます。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 (0 + 3)}{x - 3}}$

ステップ 4.2.4.4.5

$0$ と $3$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 \cdot 3}{x - 3}}$

ステップ 4.2.4.5

$2$ に $3$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{6}{x - 3}}$

ステップ 4.2.5

$3$ に $2$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{6 x}{x - 3}}{\frac{6}{x - 3}}$

ステップ 4.2.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{6 x}{x - 3} \cdot \frac{x - 3}{6}$

ステップ 4.2.7

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.7.1

$6$ を $6 x$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{6 (x)}{x - 3} \cdot \frac{x - 3}{6}$

ステップ 4.2.7.2

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{6 x}{x - 3} \cdot \frac{x - 3}{6}$

ステップ 4.2.7.3

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{x}{x - 3} \cdot (x - 3)$

ステップ 4.2.8

$x - 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.8.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{x}{x - 3} \cdot (x - 3)$

ステップ 4.2.8.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = x$

ステップ 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 4.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{3 x}{x - 2})$ の値を求めます。

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{2 (\frac{3 x}{x - 2})}{(\frac{3 x}{x - 2}) - 3}$

ステップ 4.3.3

$2$ と $\frac{3 x}{x - 2}$ をまとめます。

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 x}{x - 2} - 3}$

ステップ 4.3.4

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1

$- 3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - 2}{x - 2}$ を掛けます。

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 x}{x - 2} - 3 \cdot \frac{x - 2}{x - 2}}$

ステップ 4.3.4.2

$- 3$ と $\frac{x - 2}{x - 2}$ をまとめます。

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 x}{x - 2} + \frac{- 3 (x - 2)}{x - 2}}$

ステップ 4.3.4.3

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 x - 3 (x - 2)}{x - 2}}$

ステップ 4.3.4.4

因数分解した形で $\frac{3 x - 3 (x - 2)}{x - 2}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.4.1

$3$ を $3 x - 3 (x - 2)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.4.1.1

$3$ を $3 x$ で因数分解します。

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 (x) - 3 (x - 2)}{x - 2}}$

ステップ 4.3.4.4.1.2

$3$ を $- 3 (x - 2)$ で因数分解します。

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 (x) + 3 (- (x - 2))}{x - 2}}$

ステップ 4.3.4.4.1.3

$3$ を $3 (x) + 3 (- (x - 2))$ で因数分解します。

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 (x - (x - 2))}{x - 2}}$

ステップ 4.3.4.4.2

分配則を当てはめます。

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 (x - x + 2)}{x - 2}}$

ステップ 4.3.4.4.3

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 (x - x + 2)}{x - 2}}$

ステップ 4.3.4.4.4

$x$ から $x$ を引きます。

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 (0 + 2)}{x - 2}}$

ステップ 4.3.4.4.5

$0$ と $2$ をたし算します。

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 \cdot 2}{x - 2}}$

ステップ 4.3.4.5

$3$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{6}{x - 2}}$

ステップ 4.3.5

$2$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{6 x}{x - 2}}{\frac{6}{x - 2}}$

ステップ 4.3.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{6}$

ステップ 4.3.7

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.1

$6$ を $6 x$ で因数分解します。

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{6 (x)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{6}$

ステップ 4.3.7.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{6}$

ステップ 4.3.7.3

式を書き換えます。

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

ステップ 4.3.8

$x - 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.8.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

ステップ 4.3.8.2

式を書き換えます。

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = x$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{x - 2}$ は $f (x) = \frac{2 x}{x - 3}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{x - 2}$

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