微分積分学準備例

$\frac{1}{2} \cdot (\log ({(x)}^{4}) - \log ({(x^{2} - 2 x - 15)}^{2}))$

ステップ 1

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\frac{1}{2} \cdot \log (\frac{{(x)}^{4}}{{(x^{2} - 2 x - 15)}^{2}})$

ステップ 2

分母を簡約します。

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ステップ 2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 2 x - 15$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 15$ で、その和が $- 2$ です。

$- 5, 3$

ステップ 2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{1}{2} \cdot \log (\frac{x^{4}}{{((x - 5) (x + 3))}^{2}})$

ステップ 2.2

積の法則を $(x - 5) (x + 3)$ に当てはめます。

$\frac{1}{2} \cdot \log (\frac{x^{4}}{{(x - 5)}^{2} {(x + 3)}^{2}})$

ステップ 3

対数の中の $\frac{1}{2}$ を移動させて $\frac{1}{2} \log (\frac{x^{4}}{{(x - 5)}^{2} {(x + 3)}^{2}})$ を簡約します。

$\log ({(\frac{x^{4}}{{(x - 5)}^{2} {(x + 3)}^{2}})}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 4

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 4.1

積の法則を $\frac{x^{4}}{{(x - 5)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$ に当てはめます。

$\log (\frac{{(x^{4})}^{\frac{1}{2}}}{{({(x - 5)}^{2} {(x + 3)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 4.2

積の法則を ${(x - 5)}^{2} {(x + 3)}^{2}$ に当てはめます。

$\log (\frac{{(x^{4})}^{\frac{1}{2}}}{{({(x - 5)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {({(x + 3)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 5

${(x^{4})}^{\frac{1}{2}}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\log (\frac{x^{4 (\frac{1}{2})}}{{({(x - 5)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {({(x + 3)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 5.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\log (\frac{x^{2 (2) \frac{1}{2}}}{{({(x - 5)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {({(x + 3)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 5.2.2

共通因数を約分します。

$\log (\frac{x^{2 \cdot 2 \frac{1}{2}}}{{({(x - 5)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {({(x + 3)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 5.2.3

式を書き換えます。

$\log (\frac{x^{2}}{{({(x - 5)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {({(x + 3)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 6

分母を簡約します。

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ステップ 6.1

${({(x - 5)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ の指数を掛けます。

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ステップ 6.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\log (\frac{x^{2}}{{(x - 5)}^{2 (\frac{1}{2})} {({(x + 3)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 6.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.2.1

共通因数を約分します。

$\log (\frac{x^{2}}{{(x - 5)}^{2 (\frac{1}{2})} {({(x + 3)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 6.1.2.2

式を書き換えます。

$\log (\frac{x^{2}}{{(x - 5)}^{1} {({(x + 3)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 6.2

簡約します。

$\log (\frac{x^{2}}{(x - 5) {({(x + 3)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 6.3

${({(x + 3)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ の指数を掛けます。

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ステップ 6.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\log (\frac{x^{2}}{(x - 5) {(x + 3)}^{2 (\frac{1}{2})}})$

ステップ 6.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.2.1

共通因数を約分します。

$\log (\frac{x^{2}}{(x - 5) {(x + 3)}^{2 (\frac{1}{2})}})$

ステップ 6.3.2.2

式を書き換えます。

$\log (\frac{x^{2}}{(x - 5) {(x + 3)}^{1}})$

ステップ 6.4

簡約します。

$\log (\frac{x^{2}}{(x - 5) (x + 3)})$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例