微分積分学準備例

$\frac{1}{3} \cdot \log ({(x + 3)}^{2}) + \log (x^{2}) - \log (x^{2} - 2 x - 15)$

ステップ 1

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\frac{1}{3} \cdot \log ({(x + 3)}^{2}) + \log (\frac{x^{2}}{x^{2} - 2 x - 15})$

ステップ 2

各項を簡約します。

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ステップ 2.1

対数の中の $\frac{1}{3}$ を移動させて $\frac{1}{3} \log ({(x + 3)}^{2})$ を簡約します。

$\log ({({(x + 3)}^{2})}^{\frac{1}{3}}) + \log (\frac{x^{2}}{x^{2} - 2 x - 15})$

ステップ 2.2

${({(x + 3)}^{2})}^{\frac{1}{3}}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\log ({(x + 3)}^{2 (\frac{1}{3})}) + \log (\frac{x^{2}}{x^{2} - 2 x - 15})$

ステップ 2.2.2

$2$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\log ({(x + 3)}^{\frac{2}{3}}) + \log (\frac{x^{2}}{x^{2} - 2 x - 15})$

ステップ 2.3

たすき掛けを利用して $x^{2} - 2 x - 15$ を因数分解します。

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ステップ 2.3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 15$ で、その和が $- 2$ です。

$- 5, 3$

ステップ 2.3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\log ({(x + 3)}^{\frac{2}{3}}) + \log (\frac{x^{2}}{(x - 5) (x + 3)})$

ステップ 3

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\log ({(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{x^{2}}{(x - 5) (x + 3)})$

ステップ 4

${(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$ と $\frac{x^{2}}{(x - 5) (x + 3)}$ をまとめます。

$\log (\frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}} x^{2}}{(x - 5) (x + 3)})$

ステップ 5

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して ${(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$\log (\frac{x^{2}}{(x - 5) (x + 3) {(x + 3)}^{- \frac{2}{3}}})$

ステップ 6

指数を足して $x + 3$ に ${(x + 3)}^{- \frac{2}{3}}$ を掛けます。

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ステップ 6.1

${(x + 3)}^{- \frac{2}{3}}$ を移動させます。

$\log (\frac{x^{2}}{(x - 5) ({(x + 3)}^{- \frac{2}{3}} (x + 3))})$

ステップ 6.2

${(x + 3)}^{- \frac{2}{3}}$ に $x + 3$ をかけます。

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ステップ 6.2.1

$x + 3$ を $1$ 乗します。

$\log (\frac{x^{2}}{(x - 5) ({(x + 3)}^{- \frac{2}{3}} {(x + 3)}^{1})})$

ステップ 6.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\log (\frac{x^{2}}{(x - 5) {(x + 3)}^{- \frac{2}{3} + 1}})$

ステップ 6.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\log (\frac{x^{2}}{(x - 5) {(x + 3)}^{- \frac{2}{3} + \frac{3}{3}}})$

ステップ 6.4

公分母の分子をまとめます。

$\log (\frac{x^{2}}{(x - 5) {(x + 3)}^{\frac{- 2 + 3}{3}}})$

ステップ 6.5

$- 2$ と $3$ をたし算します。

$\log (\frac{x^{2}}{(x - 5) {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}})$

ステップ 7

$\log (\frac{x^{2}}{(x - 5) {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}})$ の因数を並べ替えます。

$\log (\frac{x^{2}}{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}} (x - 5)})$

微分積分学準備 例

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