微分積分学準備例

$\frac{- 3 x^{2} + 24 x + 21}{x^{2} - 8 x + 7}$

ステップ 1

分数を分解し、公分母を掛けます。

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ステップ 1.1

分数を因数分解します。

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ステップ 1.1.1

$3$ を $- 3 x^{2} + 24 x + 21$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

$3$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 (- x^{2}) + 24 x + 21}{x^{2} - 8 x + 7}$

ステップ 1.1.1.2

$3$ を $24 x$ で因数分解します。

$\frac{3 (- x^{2}) + 3 (8 x) + 21}{x^{2} - 8 x + 7}$

ステップ 1.1.1.3

$3$ を $21$ で因数分解します。

$\frac{3 (- x^{2}) + 3 (8 x) + 3 (7)}{x^{2} - 8 x + 7}$

ステップ 1.1.1.4

$3$ を $3 (- x^{2}) + 3 (8 x)$ で因数分解します。

$\frac{3 (- x^{2} + 8 x) + 3 (7)}{x^{2} - 8 x + 7}$

ステップ 1.1.1.5

$3$ を $3 (- x^{2} + 8 x) + 3 (7)$ で因数分解します。

$\frac{3 (- x^{2} + 8 x + 7)}{x^{2} - 8 x + 7}$

ステップ 1.1.2

たすき掛けを利用して $x^{2} - 8 x + 7$ を因数分解します。

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ステップ 1.1.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $7$ で、その和が $- 8$ です。

$- 7, - 1$

ステップ 1.1.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{3 (- x^{2} + 8 x + 7)}{(x - 7) (x - 1)}$

ステップ 1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $A$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x - 7}$

ステップ 1.3

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x - 7} + \frac{B}{x - 1}$

ステップ 1.4

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $(x - 7) (x - 1)$ です。

$\frac{3 (- x^{2} + 8 x + 7) (x - 7) (x - 1)}{(x - 7) (x - 1)} = \frac{(A) (x - 7) (x - 1)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 1.5

$x - 7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 (- x^{2} + 8 x + 7) (x - 7) (x - 1)}{(x - 7) (x - 1)} = \frac{(A) (x - 7) (x - 1)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 1.5.2

式を書き換えます。

$\frac{3 (- x^{2} + 8 x + 7) (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x - 7) (x - 1)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 1.6

$x - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 (- x^{2} + 8 x + 7) (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x - 7) (x - 1)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 1.6.2

$3 (- x^{2} + 8 x + 7)$ を $1$ で割ります。

$3 (- x^{2} + 8 x + 7) = \frac{(A) (x - 7) (x - 1)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 1.7

分配則を当てはめます。

$3 (- x^{2}) + 3 (8 x) + 3 \cdot 7 = \frac{(A) (x - 7) (x - 1)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 1.8

簡約します。

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ステップ 1.8.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 7 = \frac{(A) (x - 7) (x - 1)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 1.8.2

$8$ に $3$ をかけます。

$- 3 x^{2} + 24 x + 3 \cdot 7 = \frac{(A) (x - 7) (x - 1)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 1.8.3

$3$ に $7$ をかけます。

$- 3 x^{2} + 24 x + 21 = \frac{(A) (x - 7) (x - 1)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 1.9

各項を簡約します。

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ステップ 1.9.1

$x - 7$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.9.1.1

共通因数を約分します。

$- 3 x^{2} + 24 x + 21 = \frac{A (x - 7) (x - 1)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 1.9.1.2

$(A) (x - 1)$ を $1$ で割ります。

$- 3 x^{2} + 24 x + 21 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 1.9.2

分配則を当てはめます。

$- 3 x^{2} + 24 x + 21 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 1.9.3

$- 1$ を $A$ の左に移動させます。

$- 3 x^{2} + 24 x + 21 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 1.9.4

$- 1 A$ を $- A$ に書き換えます。

$- 3 x^{2} + 24 x + 21 = A x - A + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 1.9.5

$x - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.9.5.1

共通因数を約分します。

$- 3 x^{2} + 24 x + 21 = A x - A + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 1.9.5.2

$(B) (x - 7)$ を $1$ で割ります。

$- 3 x^{2} + 24 x + 21 = A x - A + (B) (x - 7)$

ステップ 1.9.6

分配則を当てはめます。

$- 3 x^{2} + 24 x + 21 = A x - A + B x + B \cdot - 7$

ステップ 1.9.7

$- 7$ を $B$ の左に移動させます。

$- 3 x^{2} + 24 x + 21 = A x - A + B x - 7 B$

ステップ 1.10

$- A$ を移動させます。

$- 3 x^{2} + 24 x + 21 = A x + B x - A - 7 B$

ステップ 2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

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ステップ 2.1

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$24 = A + B$

ステップ 2.2

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$21 = - 1 A - 7 B$

ステップ 2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$24 = A + B$

$21 = - 1 A - 7 B$

$24 = A + B$

$21 = - 1 A - 7 B$

ステップ 3

連立方程式を解きます。

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ステップ 3.1

$24 = A + B$ の $A$ について解きます。

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ステップ 3.1.1

方程式を $A + B = 24$ として書き換えます。

$A + B = 24$

$21 = - 1 A - 7 B$

ステップ 3.1.2

方程式の両辺から $B$ を引きます。

$A = 24 - B$

$21 = - 1 A - 7 B$

$A = 24 - B$

$21 = - 1 A - 7 B$

ステップ 3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $24 - B$ で置き換えます。

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ステップ 3.2.1

$21 = - 1 A - 7 B$ の $A$ のすべての発生を $24 - B$ で置き換えます。

$21 = - 1 (24 - B) - 7 B$

$A = 24 - B$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$- 1 (24 - B) - 7 B$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$21 = - 1 \cdot 24 - 1 (- B) - 7 B$

$A = 24 - B$

ステップ 3.2.2.1.1.2

$- 1$ に $24$ をかけます。

$21 = - 24 - 1 (- B) - 7 B$

$A = 24 - B$

ステップ 3.2.2.1.1.3

$- 1 (- B)$ を掛けます。

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ステップ 3.2.2.1.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$21 = - 24 + 1 B - 7 B$

$A = 24 - B$

ステップ 3.2.2.1.1.3.2

$B$ に $1$ をかけます。

$21 = - 24 + B - 7 B$

$A = 24 - B$

$21 = - 24 + B - 7 B$

$A = 24 - B$

$21 = - 24 + B - 7 B$

$A = 24 - B$

ステップ 3.2.2.1.2

$B$ から $7 B$ を引きます。

$21 = - 24 - 6 B$

$A = 24 - B$

$21 = - 24 - 6 B$

$A = 24 - B$

$21 = - 24 - 6 B$

$A = 24 - B$

$21 = - 24 - 6 B$

$A = 24 - B$

ステップ 3.3

$21 = - 24 - 6 B$ の $B$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

方程式を $- 24 - 6 B = 21$ として書き換えます。

$- 24 - 6 B = 21$

$A = 24 - B$

ステップ 3.3.2

$B$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺に $24$ を足します。

$- 6 B = 21 + 24$

$A = 24 - B$

ステップ 3.3.2.2

$21$ と $24$ をたし算します。

$- 6 B = 45$

$A = 24 - B$

$- 6 B = 45$

$A = 24 - B$

ステップ 3.3.3

$- 6 B = 45$ の各項を $- 6$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$- 6 B = 45$ の各項を $- 6$ で割ります。

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{45}{- 6}$

$A = 24 - B$

ステップ 3.3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.1

$- 6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{45}{- 6}$

$A = 24 - B$

ステップ 3.3.3.2.1.2

$B$ を $1$ で割ります。

$B = \frac{45}{- 6}$

$A = 24 - B$

$B = \frac{45}{- 6}$

$A = 24 - B$

$B = \frac{45}{- 6}$

$A = 24 - B$

ステップ 3.3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.3.1

$45$ と $- 6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.3.1.1

$3$ を $45$ で因数分解します。

$B = \frac{3 (15)}{- 6}$

$A = 24 - B$

ステップ 3.3.3.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.3.1.2.1

$3$ を $- 6$ で因数分解します。

$B = \frac{3 \cdot 15}{3 \cdot - 2}$

$A = 24 - B$

ステップ 3.3.3.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$B = \frac{3 \cdot 15}{3 \cdot - 2}$

$A = 24 - B$

ステップ 3.3.3.3.1.2.3

式を書き換えます。

$B = \frac{15}{- 2}$

$A = 24 - B$

$B = \frac{15}{- 2}$

$A = 24 - B$

$B = \frac{15}{- 2}$

$A = 24 - B$

ステップ 3.3.3.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$B = - \frac{15}{2}$

$A = 24 - B$

$B = - \frac{15}{2}$

$A = 24 - B$

$B = - \frac{15}{2}$

$A = 24 - B$

$B = - \frac{15}{2}$

$A = 24 - B$

ステップ 3.4

各方程式の $B$ のすべての発生を $- \frac{15}{2}$ で置き換えます。

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ステップ 3.4.1

$A = 24 - B$ の $B$ のすべての発生を $- \frac{15}{2}$ で置き換えます。

$A = 24 - (- \frac{15}{2})$

$B = - \frac{15}{2}$

ステップ 3.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1

$24 - (- \frac{15}{2})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1

$- (- \frac{15}{2})$ を掛けます。

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ステップ 3.4.2.1.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$A = 24 + 1 (\frac{15}{2})$

$B = - \frac{15}{2}$

ステップ 3.4.2.1.1.2

$\frac{15}{2}$ に $1$ をかけます。

$A = 24 + \frac{15}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

$A = 24 + \frac{15}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

ステップ 3.4.2.1.2

$24$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$A = 24 \cdot \frac{2}{2} + \frac{15}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

ステップ 3.4.2.1.3

$24$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$A = \frac{24 \cdot 2}{2} + \frac{15}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

ステップ 3.4.2.1.4

公分母の分子をまとめます。

$A = \frac{24 \cdot 2 + 15}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

ステップ 3.4.2.1.5

分子を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1.5.1

$24$ に $2$ をかけます。

$A = \frac{48 + 15}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

ステップ 3.4.2.1.5.2

$48$ と $15$ をたし算します。

$A = \frac{63}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

$A = \frac{63}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

$A = \frac{63}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

$A = \frac{63}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

$A = \frac{63}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

ステップ 3.5

すべての解をまとめます。

$A = \frac{63}{2}, B = - \frac{15}{2}$

ステップ 4

$\frac{A}{x - 7} + \frac{B}{x - 1}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{\frac{63}{2}}{x - 7} + \frac{- \frac{15}{2}}{x - 1}$

微分積分学準備 例

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