微分積分学準備例

$\log_{4} (\sqrt[3]{\frac{16 ({(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{6})}{{(x - 1)}^{2} (x + 3)}})$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{\frac{16 ({(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{6})}{{(x - 1)}^{2} (x + 3)}}$ を ${(\frac{16 ({(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{6})}{{(x - 1)}^{2} (x + 3)})}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\log_{4} ({(\frac{16 ({(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{6})}{{(x - 1)}^{2} (x + 3)})}^{\frac{1}{3}})$

ステップ 2

$\frac{1}{3}$ を対数の外に移動させて、 $\log_{4} ({(\frac{16 ({(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{6})}{{(x - 1)}^{2} (x + 3)})}^{\frac{1}{3}})$ を展開します。

$\frac{1}{3} \log_{4} (\frac{16 ({(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{6})}{{(x - 1)}^{2} (x + 3)})$

ステップ 3

括弧を削除します。

$\frac{1}{3} \log_{4} (\frac{16 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{6}}{{(x - 1)}^{2} (x + 3)})$

ステップ 4

$\log_{4} (\frac{16 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{6}}{{(x - 1)}^{2} (x + 3)})$ を $\log_{4} (16 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{6}) - \log_{4} ({(x - 1)}^{2} (x + 3))$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} (\log_{4} (16 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{6}) - \log_{4} ({(x - 1)}^{2} (x + 3)))$

ステップ 5

$\log_{4} (16 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{6})$ を $\log_{4} (16 {(x - 3)}^{2}) + \log_{4} ({(x + 5)}^{6})$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} (\log_{4} (16 {(x - 3)}^{2}) + \log_{4} ({(x + 5)}^{6}) - \log_{4} ({(x - 1)}^{2} (x + 3)))$

ステップ 6

$\log_{4} (16 {(x - 3)}^{2})$ を $\log_{4} (16) + \log_{4} ({(x - 3)}^{2})$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} (\log_{4} (16) + \log_{4} ({(x - 3)}^{2}) + \log_{4} ({(x + 5)}^{6}) - \log_{4} ({(x - 1)}^{2} (x + 3)))$

ステップ 7

$2$ を対数の外に移動させて、 $\log_{4} ({(x - 3)}^{2})$ を展開します。

$\frac{1}{3} (\log_{4} (16) + 2 \log_{4} (x - 3) + \log_{4} ({(x + 5)}^{6}) - \log_{4} ({(x - 1)}^{2} (x + 3)))$

ステップ 8

$6$ を対数の外に移動させて、 $\log_{4} ({(x + 5)}^{6})$ を展開します。

$\frac{1}{3} (\log_{4} (16) + 2 \log_{4} (x - 3) + 6 \log_{4} (x + 5) - \log_{4} ({(x - 1)}^{2} (x + 3)))$

ステップ 9

$16$ の対数の底 $4$ は $2$ です。

$\frac{1}{3} (2 + 2 \log_{4} (x - 3) + 6 \log_{4} (x + 5) - \log_{4} ({(x - 1)}^{2} (x + 3)))$

ステップ 10

$\log_{4} ({(x - 1)}^{2} (x + 3))$ を $\log_{4} ({(x - 1)}^{2}) + \log_{4} (x + 3)$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} (2 + 2 \log_{4} (x - 3) + 6 \log_{4} (x + 5) - (\log_{4} ({(x - 1)}^{2}) + \log_{4} (x + 3)))$

ステップ 11

$2$ を対数の外に移動させて、 $\log_{4} ({(x - 1)}^{2})$ を展開します。

$\frac{1}{3} (2 + 2 \log_{4} (x - 3) + 6 \log_{4} (x + 5) - (2 \log_{4} (x - 1) + \log_{4} (x + 3)))$

ステップ 12

各項を簡約します。

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ステップ 12.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{3} (2 + 2 \log_{4} (x - 3) + 6 \log_{4} (x + 5) - (2 \log_{4} (x - 1)) - \log_{4} (x + 3))$

ステップ 12.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{3} (2 + 2 \log_{4} (x - 3) + 6 \log_{4} (x + 5) - 2 \log_{4} (x - 1) - \log_{4} (x + 3))$

ステップ 13

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{3} \cdot 2 + \frac{1}{3} (2 \log_{4} (x - 3)) + \frac{1}{3} (6 \log_{4} (x + 5)) + \frac{1}{3} (- 2 \log_{4} (x - 1)) + \frac{1}{3} (- \log_{4} (x + 3))$

ステップ 14

簡約します。

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ステップ 14.1

$\frac{1}{3}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2}{3} + \frac{1}{3} (2 \log_{4} (x - 3)) + \frac{1}{3} (6 \log_{4} (x + 5)) + \frac{1}{3} (- 2 \log_{4} (x - 1)) + \frac{1}{3} (- \log_{4} (x + 3))$

ステップ 14.2

$\frac{1}{3} (2 \log_{4} (x - 3))$ を掛けます。

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ステップ 14.2.1

$2$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} \log_{4} (x - 3) + \frac{1}{3} (6 \log_{4} (x + 5)) + \frac{1}{3} (- 2 \log_{4} (x - 1)) + \frac{1}{3} (- \log_{4} (x + 3))$

ステップ 14.2.2

$\frac{2}{3}$ と $\log_{4} (x - 3)$ をまとめます。

$\frac{2}{3} + \frac{2 \log_{4} (x - 3)}{3} + \frac{1}{3} (6 \log_{4} (x + 5)) + \frac{1}{3} (- 2 \log_{4} (x - 1)) + \frac{1}{3} (- \log_{4} (x + 3))$

ステップ 14.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 14.3.1

$3$ を $6 \log_{4} (x + 5)$ で因数分解します。

$\frac{2}{3} + \frac{2 \log_{4} (x - 3)}{3} + \frac{1}{3} (3 (2 \log_{4} (x + 5))) + \frac{1}{3} (- 2 \log_{4} (x - 1)) + \frac{1}{3} (- \log_{4} (x + 3))$

ステップ 14.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{2}{3} + \frac{2 \log_{4} (x - 3)}{3} + \frac{1}{3} (3 (2 \log_{4} (x + 5))) + \frac{1}{3} (- 2 \log_{4} (x - 1)) + \frac{1}{3} (- \log_{4} (x + 3))$

ステップ 14.3.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{3} + \frac{2 \log_{4} (x - 3)}{3} + 2 \log_{4} (x + 5) + \frac{1}{3} (- 2 \log_{4} (x - 1)) + \frac{1}{3} (- \log_{4} (x + 3))$

ステップ 14.4

$\frac{1}{3} (- 2 \log_{4} (x - 1))$ を掛けます。

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ステップ 14.4.1

$- 2$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{2}{3} + \frac{2 \log_{4} (x - 3)}{3} + 2 \log_{4} (x + 5) + \frac{- 2}{3} \log_{4} (x - 1) + \frac{1}{3} (- \log_{4} (x + 3))$

ステップ 14.4.2

$\frac{- 2}{3}$ と $\log_{4} (x - 1)$ をまとめます。

$\frac{2}{3} + \frac{2 \log_{4} (x - 3)}{3} + 2 \log_{4} (x + 5) + \frac{- 2 \log_{4} (x - 1)}{3} + \frac{1}{3} (- \log_{4} (x + 3))$

ステップ 14.5

$\frac{1}{3}$ と $\log_{4} (x + 3)$ をまとめます。

$\frac{2}{3} + \frac{2 \log_{4} (x - 3)}{3} + 2 \log_{4} (x + 5) + \frac{- 2 \log_{4} (x - 1)}{3} - \frac{\log_{4} (x + 3)}{3}$

ステップ 15

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{2}{3} + \frac{2 \log_{4} (x - 3)}{3} + 2 \log_{4} (x + 5) - \frac{2 \log_{4} (x - 1)}{3} - \frac{\log_{4} (x + 3)}{3}$

ステップ 16

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 + 2 \log_{4} (x - 3)}{3} + 2 \log_{4} (x + 5) - \frac{2 \log_{4} (x - 1)}{3} - \frac{\log_{4} (x + 3)}{3}$

ステップ 17

$2$ を $2 + 2 \log_{4} (x - 3)$ で因数分解します。

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ステップ 17.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 1 + 2 \log_{4} (x - 3)}{3} + 2 \log_{4} (x + 5) - \frac{2 \log_{4} (x - 1)}{3} - \frac{\log_{4} (x + 3)}{3}$

ステップ 17.2

$2$ を $2 \cdot 1 + 2 \log_{4} (x - 3)$ で因数分解します。

$\frac{2 (1 + \log_{4} (x - 3))}{3} + 2 \log_{4} (x + 5) - \frac{2 \log_{4} (x - 1)}{3} - \frac{\log_{4} (x + 3)}{3}$

ステップ 18

$2 \log_{4} (x + 5)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{2 (1 + \log_{4} (x - 3))}{3} + 2 \log_{4} (x + 5) \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 \log_{4} (x - 1)}{3} - \frac{\log_{4} (x + 3)}{3}$

ステップ 19

$2 \log_{4} (x + 5)$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{2 (1 + \log_{4} (x - 3))}{3} + \frac{2 \log_{4} (x + 5) \cdot 3}{3} - \frac{2 \log_{4} (x - 1)}{3} - \frac{\log_{4} (x + 3)}{3}$

ステップ 20

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 (1 + \log_{4} (x - 3)) + 2 \log_{4} (x + 5) \cdot 3}{3} - \frac{2 \log_{4} (x - 1)}{3} - \frac{\log_{4} (x + 3)}{3}$

ステップ 21

分子を簡約します。

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ステップ 21.1

$2$ を $2 (1 + \log_{4} (x - 3)) + 2 \log_{4} (x + 5) \cdot 3$ で因数分解します。

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ステップ 21.1.1

$2$ を $2 \log_{4} (x + 5) \cdot 3$ で因数分解します。

$\frac{2 (1 + \log_{4} (x - 3)) + 2 (\log_{4} (x + 5) \cdot 3)}{3} - \frac{2 \log_{4} (x - 1)}{3} - \frac{\log_{4} (x + 3)}{3}$

ステップ 21.1.2

$2$ を $2 (1 + \log_{4} (x - 3)) + 2 (\log_{4} (x + 5) \cdot 3)$ で因数分解します。

$\frac{2 (1 + \log_{4} (x - 3) + \log_{4} (x + 5) \cdot 3)}{3} - \frac{2 \log_{4} (x - 1)}{3} - \frac{\log_{4} (x + 3)}{3}$

ステップ 21.2

$3$ を $\log_{4} (x + 5)$ の左に移動させます。

$\frac{2 (1 + \log_{4} (x - 3) + 3 \log_{4} (x + 5))}{3} - \frac{2 \log_{4} (x - 1)}{3} - \frac{\log_{4} (x + 3)}{3}$

ステップ 22

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 (1 + \log_{4} (x - 3) + 3 \log_{4} (x + 5)) - 2 \log_{4} (x - 1)}{3} - \frac{\log_{4} (x + 3)}{3}$

ステップ 23

$2$ を $2 (1 + \log_{4} (x - 3) + 3 \log_{4} (x + 5)) - 2 \log_{4} (x - 1)$ で因数分解します。

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ステップ 23.1

$2$ を $- 2 \log_{4} (x - 1)$ で因数分解します。

$\frac{2 (1 + \log_{4} (x - 3) + 3 \log_{4} (x + 5)) + 2 (- \log_{4} (x - 1))}{3} - \frac{\log_{4} (x + 3)}{3}$

ステップ 23.2

$2$ を $2 (1 + \log_{4} (x - 3) + 3 \log_{4} (x + 5)) + 2 (- \log_{4} (x - 1))$ で因数分解します。

$\frac{2 (1 + \log_{4} (x - 3) + 3 \log_{4} (x + 5) - \log_{4} (x - 1))}{3} - \frac{\log_{4} (x + 3)}{3}$

ステップ 24

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 (1 + \log_{4} (x - 3) + 3 \log_{4} (x + 5) - \log_{4} (x - 1)) - \log_{4} (x + 3)}{3}$

ステップ 25

分子を簡約します。

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ステップ 25.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 \cdot 1 + 2 \log_{4} (x - 3) + 2 (3 \log_{4} (x + 5)) + 2 (- \log_{4} (x - 1)) - \log_{4} (x + 3)}{3}$

ステップ 25.2

簡約します。

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ステップ 25.2.1

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 + 2 \log_{4} (x - 3) + 2 (3 \log_{4} (x + 5)) + 2 (- \log_{4} (x - 1)) - \log_{4} (x + 3)}{3}$

ステップ 25.2.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 + 2 \log_{4} (x - 3) + 6 \log_{4} (x + 5) + 2 (- \log_{4} (x - 1)) - \log_{4} (x + 3)}{3}$

ステップ 25.2.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 + 2 \log_{4} (x - 3) + 6 \log_{4} (x + 5) - 2 \log_{4} (x - 1) - \log_{4} (x + 3)}{3}$

微分積分学準備 例

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