微分積分学準備例

$\log_{3} ({(\frac{2 x \sqrt{x^{2} + 4}}{3 \sqrt[5]{x - 1}})}^{2})$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{2} + 4}$ を ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\log_{3} ({(\frac{2 x {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{3 \sqrt[5]{x - 1}})}^{2})$

ステップ 2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[5]{x - 1}$ を ${(x - 1)}^{\frac{1}{5}}$ に書き換えます。

$\log_{3} ({(\frac{2 x {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{5}}})}^{2})$

ステップ 3

$2$ を対数の外に移動させて、 $\log_{3} ({(\frac{2 x {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{5}}})}^{2})$ を展開します。

$2 \log_{3} (\frac{2 x {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{5}}})$

ステップ 4

$\log_{3} (\frac{2 x {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{5}}})$ を $\log_{3} (2 x {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) - \log_{3} (3 {(x - 1)}^{\frac{1}{5}})$ に書き換えます。

$2 (\log_{3} (2 x {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) - \log_{3} (3 {(x - 1)}^{\frac{1}{5}}))$

ステップ 5

$\log_{3} (2 x {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})$ を $\log_{3} (2 x) + \log_{3} ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})$ に書き換えます。

$2 (\log_{3} (2 x) + \log_{3} ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) - \log_{3} (3 {(x - 1)}^{\frac{1}{5}}))$

ステップ 6

$\log_{3} (2 x)$ を $\log_{3} (2) + \log_{3} (x)$ に書き換えます。

$2 (\log_{3} (2) + \log_{3} (x) + \log_{3} ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) - \log_{3} (3 {(x - 1)}^{\frac{1}{5}}))$

ステップ 7

$\frac{1}{2}$ を対数の外に移動させて、 $\log_{3} ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})$ を展開します。

$2 (\log_{3} (2) + \log_{3} (x) + \frac{1}{2} \log_{3} (x^{2} + 4) - \log_{3} (3 {(x - 1)}^{\frac{1}{5}}))$

ステップ 8

$\log_{3} (3 {(x - 1)}^{\frac{1}{5}})$ を $\log_{3} (3) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{5}})$ に書き換えます。

$2 (\log_{3} (2) + \log_{3} (x) + \frac{1}{2} \log_{3} (x^{2} + 4) - (\log_{3} (3) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{5}})))$

ステップ 9

$\frac{1}{5}$ を対数の外に移動させて、 $\log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{5}})$ を展開します。

$2 (\log_{3} (2) + \log_{3} (x) + \frac{1}{2} \log_{3} (x^{2} + 4) - (\log_{3} (3) + \frac{1}{5} \log_{3} (x - 1)))$

ステップ 10

$3$ の対数の底 $3$ は $1$ です。

$2 (\log_{3} (2) + \log_{3} (x) + \frac{1}{2} \log_{3} (x^{2} + 4) - (1 + \frac{1}{5} \log_{3} (x - 1)))$

ステップ 11

各項を簡約します。

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ステップ 11.1

$\frac{1}{2}$ と $\log_{3} (x^{2} + 4)$ をまとめます。

$2 (\log_{3} (2) + \log_{3} (x) + \frac{\log_{3} (x^{2} + 4)}{2} - (1 + \frac{1}{5} \log_{3} (x - 1)))$

ステップ 11.2

$\frac{1}{5}$ と $\log_{3} (x - 1)$ をまとめます。

$2 (\log_{3} (2) + \log_{3} (x) + \frac{\log_{3} (x^{2} + 4)}{2} - (1 + \frac{\log_{3} (x - 1)}{5}))$

ステップ 11.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$2 (\log_{3} (2) + \log_{3} (x) + \frac{\log_{3} (x^{2} + 4)}{2} - (\frac{5}{5} + \frac{\log_{3} (x - 1)}{5}))$

ステップ 11.4

公分母の分子をまとめます。

$2 (\log_{3} (2) + \log_{3} (x) + \frac{\log_{3} (x^{2} + 4)}{2} - \frac{5 + \log_{3} (x - 1)}{5})$

ステップ 12

$\log_{3} (2)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 (\log_{3} (2) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\log_{3} (x^{2} + 4)}{2} + \log_{3} (x) - \frac{5 + \log_{3} (x - 1)}{5})$

ステップ 13

$\log_{3} (2)$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2 (\frac{\log_{3} (2) \cdot 2}{2} + \frac{\log_{3} (x^{2} + 4)}{2} + \log_{3} (x) - \frac{5 + \log_{3} (x - 1)}{5})$

ステップ 14

公分母の分子をまとめます。

$2 (\frac{\log_{3} (2) \cdot 2 + \log_{3} (x^{2} + 4)}{2} + \log_{3} (x) - \frac{5 + \log_{3} (x - 1)}{5})$

ステップ 15

$2$ を $\log_{3} (2)$ の左に移動させます。

$2 (\frac{2 \log_{3} (2) + \log_{3} (x^{2} + 4)}{2} + \log_{3} (x) - \frac{5 + \log_{3} (x - 1)}{5})$

ステップ 16

分配則を当てはめます。

$2 \frac{2 \log_{3} (2) + \log_{3} (x^{2} + 4)}{2} + 2 \log_{3} (x) + 2 (- \frac{5 + \log_{3} (x - 1)}{5})$

ステップ 17

簡約します。

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ステップ 17.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 17.1.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{2 \log_{3} (2) + \log_{3} (x^{2} + 4)}{2} + 2 \log_{3} (x) + 2 (- \frac{5 + \log_{3} (x - 1)}{5})$

ステップ 17.1.2

式を書き換えます。

$2 \log_{3} (2) + \log_{3} (x^{2} + 4) + 2 \log_{3} (x) + 2 (- \frac{5 + \log_{3} (x - 1)}{5})$

ステップ 17.2

$2 (- \frac{5 + \log_{3} (x - 1)}{5})$ を掛けます。

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ステップ 17.2.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$2 \log_{3} (2) + \log_{3} (x^{2} + 4) + 2 \log_{3} (x) - 2 \frac{5 + \log_{3} (x - 1)}{5}$

ステップ 17.2.2

$- 2$ と $\frac{5 + \log_{3} (x - 1)}{5}$ をまとめます。

$2 \log_{3} (2) + \log_{3} (x^{2} + 4) + 2 \log_{3} (x) + \frac{- 2 (5 + \log_{3} (x - 1))}{5}$

ステップ 18

分数の前に負数を移動させます。

$2 \log_{3} (2) + \log_{3} (x^{2} + 4) + 2 \log_{3} (x) - \frac{2 (5 + \log_{3} (x - 1))}{5}$

ステップ 19

$2 \log_{3} (2)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$\log_{3} (x^{2} + 4) + 2 \log_{3} (x) + 2 \log_{3} (2) \cdot \frac{5}{5} - \frac{2 (5 + \log_{3} (x - 1))}{5}$

ステップ 20

$2 \log_{3} (2)$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$\log_{3} (x^{2} + 4) + 2 \log_{3} (x) + \frac{2 \log_{3} (2) \cdot 5}{5} - \frac{2 (5 + \log_{3} (x - 1))}{5}$

ステップ 21

公分母の分子をまとめます。

$\log_{3} (x^{2} + 4) + 2 \log_{3} (x) + \frac{2 \log_{3} (2) \cdot 5 - 2 (5 + \log_{3} (x - 1))}{5}$

ステップ 22

分子を簡約します。

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ステップ 22.1

$2$ を $2 \log_{3} (2) \cdot 5 - 2 (5 + \log_{3} (x - 1))$ で因数分解します。

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ステップ 22.1.1

$2$ を $2 \log_{3} (2) \cdot 5$ で因数分解します。

$\log_{3} (x^{2} + 4) + 2 \log_{3} (x) + \frac{2 (\log_{3} (2) \cdot 5) - 2 (5 + \log_{3} (x - 1))}{5}$

ステップ 22.1.2

$2$ を $- 2 (5 + \log_{3} (x - 1))$ で因数分解します。

$\log_{3} (x^{2} + 4) + 2 \log_{3} (x) + \frac{2 (\log_{3} (2) \cdot 5) + 2 (- (5 + \log_{3} (x - 1)))}{5}$

ステップ 22.1.3

$2$ を $2 (\log_{3} (2) \cdot 5) + 2 (- (5 + \log_{3} (x - 1)))$ で因数分解します。

$\log_{3} (x^{2} + 4) + 2 \log_{3} (x) + \frac{2 (\log_{3} (2) \cdot 5 - (5 + \log_{3} (x - 1)))}{5}$

ステップ 22.2

$5$ を $\log_{3} (2)$ の左に移動させます。

$\log_{3} (x^{2} + 4) + 2 \log_{3} (x) + \frac{2 (5 \cdot \log_{3} (2) - (5 + \log_{3} (x - 1)))}{5}$

ステップ 22.3

分配則を当てはめます。

$\log_{3} (x^{2} + 4) + 2 \log_{3} (x) + \frac{2 (5 \log_{3} (2) - 1 \cdot 5 - \log_{3} (x - 1))}{5}$

ステップ 22.4

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\log_{3} (x^{2} + 4) + 2 \log_{3} (x) + \frac{2 (5 \log_{3} (2) - 5 - \log_{3} (x - 1))}{5}$

ステップ 23

$\log_{3} (x^{2} + 4)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$2 \log_{3} (x) + \log_{3} (x^{2} + 4) \cdot \frac{5}{5} + \frac{2 (5 \log_{3} (2) - 5 - \log_{3} (x - 1))}{5}$

ステップ 24

$\log_{3} (x^{2} + 4)$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$2 \log_{3} (x) + \frac{\log_{3} (x^{2} + 4) \cdot 5}{5} + \frac{2 (5 \log_{3} (2) - 5 - \log_{3} (x - 1))}{5}$

ステップ 25

公分母の分子をまとめます。

$2 \log_{3} (x) + \frac{\log_{3} (x^{2} + 4) \cdot 5 + 2 (5 \log_{3} (2) - 5 - \log_{3} (x - 1))}{5}$

ステップ 26

分子を簡約します。

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ステップ 26.1

$5$ を $\log_{3} (x^{2} + 4)$ の左に移動させます。

$2 \log_{3} (x) + \frac{5 \cdot \log_{3} (x^{2} + 4) + 2 (5 \log_{3} (2) - 5 - \log_{3} (x - 1))}{5}$

ステップ 26.2

分配則を当てはめます。

$2 \log_{3} (x) + \frac{5 \log_{3} (x^{2} + 4) + 2 (5 \log_{3} (2)) + 2 \cdot - 5 + 2 (- \log_{3} (x - 1))}{5}$

ステップ 26.3

簡約します。

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ステップ 26.3.1

$5$ に $2$ をかけます。

$2 \log_{3} (x) + \frac{5 \log_{3} (x^{2} + 4) + 10 \log_{3} (2) + 2 \cdot - 5 + 2 (- \log_{3} (x - 1))}{5}$

ステップ 26.3.2

$2$ に $- 5$ をかけます。

$2 \log_{3} (x) + \frac{5 \log_{3} (x^{2} + 4) + 10 \log_{3} (2) - 10 + 2 (- \log_{3} (x - 1))}{5}$

ステップ 26.3.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$2 \log_{3} (x) + \frac{5 \log_{3} (x^{2} + 4) + 10 \log_{3} (2) - 10 - 2 \log_{3} (x - 1)}{5}$

ステップ 27

$2 \log_{3} (x)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$2 \log_{3} (x) \cdot \frac{5}{5} + \frac{5 \log_{3} (x^{2} + 4) + 10 \log_{3} (2) - 10 - 2 \log_{3} (x - 1)}{5}$

ステップ 28

$2 \log_{3} (x)$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$\frac{2 \log_{3} (x) \cdot 5}{5} + \frac{5 \log_{3} (x^{2} + 4) + 10 \log_{3} (2) - 10 - 2 \log_{3} (x - 1)}{5}$

ステップ 29

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 \log_{3} (x) \cdot 5 + 5 \log_{3} (x^{2} + 4) + 10 \log_{3} (2) - 10 - 2 \log_{3} (x - 1)}{5}$

ステップ 30

$5$ に $2$ をかけます。

$\frac{10 \log_{3} (x) + 5 \log_{3} (x^{2} + 4) + 10 \log_{3} (2) - 10 - 2 \log_{3} (x - 1)}{5}$

微分積分学準備 例

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