微分積分学準備例

$\log (x^{2} - 1) - \log (12) = 1$

ステップ 1

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\log (\frac{x^{2} - 1}{12}) = 1$

ステップ 1.2

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\log (\frac{x^{2} - 1^{2}}{12}) = 1$

ステップ 1.2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$\log (\frac{(x + 1) (x - 1)}{12}) = 1$

ステップ 2

対数の定義を利用して $\log (\frac{(x + 1) (x - 1)}{12}) = 1$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$10^{1} = \frac{(x + 1) (x - 1)}{12}$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $\frac{(x + 1) (x - 1)}{12} = 10^{1}$ として書き換えます。

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{12} = 10$

ステップ 3.2

方程式の両辺に $12$ を掛けます。

$12 \frac{(x + 1) (x - 1)}{12} = 12 \cdot 10^{1}$

ステップ 3.3

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

$12 \frac{(x + 1) (x - 1)}{12}$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1.1

$12$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1.1.1.1

共通因数を約分します。

$12 \frac{(x + 1) (x - 1)}{12} = 12 \cdot 10^{1}$

ステップ 3.3.1.1.1.2

式を書き換えます。

$(x + 1) (x - 1) = 12 \cdot 10^{1}$

ステップ 3.3.1.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 1) (x - 1)$ を展開します。

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ステップ 3.3.1.1.2.1

分配則を当てはめます。

$x (x - 1) + 1 (x - 1) = 12 \cdot 10^{1}$

ステップ 3.3.1.1.2.2

分配則を当てはめます。

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) = 12 \cdot 10^{1}$

ステップ 3.3.1.1.2.3

分配則を当てはめます。

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = 12 \cdot 10^{1}$

ステップ 3.3.1.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.3.1.1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = 12 \cdot 10^{1}$

ステップ 3.3.1.1.3.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 = 12 \cdot 10^{1}$

ステップ 3.3.1.1.3.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 = 12 \cdot 10^{1}$

ステップ 3.3.1.1.3.1.4

$x$ に $1$ をかけます。

$x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 = 12 \cdot 10^{1}$

ステップ 3.3.1.1.3.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$x^{2} - x + x - 1 = 12 \cdot 10^{1}$

ステップ 3.3.1.1.3.2

$- x$ と $x$ をたし算します。

$x^{2} + 0 - 1 = 12 \cdot 10^{1}$

ステップ 3.3.1.1.3.3

$x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$x^{2} - 1 = 12 \cdot 10^{1}$

ステップ 3.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

Move the decimal point in $12$ to the left by $1$ place and increase the power of $10^{1}$ by $1$ .

$x^{2} - 1 = 1.2 \cdot 10^{2}$

ステップ 3.4

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.4.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x^{2} = 1.2 \cdot 10^{2} + 1$

ステップ 3.4.2

Convert $1$ to scientific notation.

$x^{2} = 1.2 \cdot 10^{2} + 1 \cdot 10^{0}$

ステップ 3.4.3

Move the decimal point in $1$ to the left by $2$ places and increase the power of $10^{0}$ by $2$ .

$x^{2} = 1.2 \cdot 10^{2} + 0.01 \cdot 10^{2}$

ステップ 3.4.4

$10^{2}$ を $1.2 \cdot 10^{2} + 0.01 \cdot 10^{2}$ で因数分解します。

$x^{2} = (1.2 + 0.01) \cdot 10^{2}$

ステップ 3.4.5

$1.2$ と $0.01$ をたし算します。

$x^{2} = 1.21 \cdot 10^{2}$

ステップ 3.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1.21 \cdot 10^{2}}$

ステップ 3.6

$\pm \sqrt{1.21 \cdot 10^{2}}$ を簡約します。

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ステップ 3.6.1

$\sqrt{1.21 \cdot 10^{2}}$ を $\sqrt{1.21} \cdot \sqrt{10^{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{1.21} \cdot \sqrt{10^{2}}$

ステップ 3.6.2

根の値を求めます。

$x = \pm 1.1 \cdot \sqrt{10^{2}}$

ステップ 3.6.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 1.1 \cdot 10$

ステップ 3.6.4

$10$ を $1$ 乗します。

$x = \pm 1.1 \cdot 10^{1}$

ステップ 3.7

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.7.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 1.1 \cdot 10^{1}$

ステップ 3.7.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 1.1 \cdot 10^{1}$

ステップ 3.7.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 1.1 \cdot 10^{1}, - 1.1 \cdot 10^{1}$

ステップ 4

結果は複数の形で表すことができます。

科学的記数法：

$x = 1.1 \cdot 10^{1}, - 1.1 \cdot 10^{1}$

展開した形：

$x = 11, - 11$

微分積分学準備 例

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