微分積分学準備例

$4 \log_{3} (2 x) + 8 \log_{3} (x) - 5 = 0$

ステップ 1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$4 \log_{3} (2 x) + 8 \log_{3} (x) = 5 + 0$

ステップ 2

$5$ と $0$ をたし算します。

$4 \log_{3} (2 x) + 8 \log_{3} (x) = 5$

ステップ 3

左辺を簡約します。

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ステップ 3.1

$4 \log_{3} (2 x) + 8 \log_{3} (x)$ を簡約します。

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ステップ 3.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.1.1

対数の中の $4$ を移動させて $4 \log_{3} (2 x)$ を簡約します。

$\log_{3} ({(2 x)}^{4}) + 8 \log_{3} (x) = 5$

ステップ 3.1.1.2

積の法則を $2 x$ に当てはめます。

$\log_{3} (2^{4} x^{4}) + 8 \log_{3} (x) = 5$

ステップ 3.1.1.3

$2$ を $4$ 乗します。

$\log_{3} (16 x^{4}) + 8 \log_{3} (x) = 5$

ステップ 3.1.1.4

対数の中の $8$ を移動させて $8 \log_{3} (x)$ を簡約します。

$\log_{3} (16 x^{4}) + \log_{3} (x^{8}) = 5$

ステップ 3.1.2

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\log_{3} (16 x^{4} x^{8}) = 5$

ステップ 3.1.3

指数を足して $x^{4}$ に $x^{8}$ を掛けます。

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ステップ 3.1.3.1

$x^{8}$ を移動させます。

$\log_{3} (16 (x^{8} x^{4})) = 5$

ステップ 3.1.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\log_{3} (16 x^{8 + 4}) = 5$

ステップ 3.1.3.3

$8$ と $4$ をたし算します。

$\log_{3} (16 x^{12}) = 5$

ステップ 4

対数の定義を利用して $\log_{3} (16 x^{12}) = 5$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$3^{5} = 16 x^{12}$

ステップ 5

$x$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式を $16 x^{12} = 3^{5}$ として書き換えます。

$16 x^{12} = 3^{5}$

ステップ 5.2

$16 x^{12} = 3^{5}$ の各項を $16$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.1

$16 x^{12} = 3^{5}$ の各項を $16$ で割ります。

$\frac{16 x^{12}}{16} = \frac{3^{5}}{16}$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$16$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{16 x^{12}}{16} = \frac{3^{5}}{16}$

ステップ 5.2.2.1.2

$x^{12}$ を $1$ で割ります。

$x^{12} = \frac{3^{5}}{16}$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

$3$ を $5$ 乗します。

$x^{12} = \frac{243}{16}$

ステップ 5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[12]{\frac{243}{16}}$

ステップ 5.4

$\pm \sqrt[12]{\frac{243}{16}}$ を簡約します。

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ステップ 5.4.1

$\sqrt[12]{\frac{243}{16}}$ を $\frac{\sqrt[12]{243}}{\sqrt[12]{16}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243}}{\sqrt[12]{16}}$

ステップ 5.4.2

分母を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

$16$ を $2^{4}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243}}{\sqrt[12]{2^{4}}}$

ステップ 5.4.2.2

$\sqrt[12]{2^{4}}$ を $\sqrt[3]{\sqrt[4]{2^{4}}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243}}{\sqrt[3]{\sqrt[4]{2^{4}}}}$

ステップ 5.4.2.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243}}{\sqrt[3]{2}}$

ステップ 5.4.3

$\frac{\sqrt[12]{243}}{\sqrt[3]{2}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

ステップ 5.4.4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 5.4.4.1

$\frac{\sqrt[12]{243}}{\sqrt[3]{2}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

ステップ 5.4.4.2

$\sqrt[3]{2}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

ステップ 5.4.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

ステップ 5.4.4.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

ステップ 5.4.4.5

${\sqrt[3]{2}}^{3}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 5.4.4.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{2}$ を $2^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

ステップ 5.4.4.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

ステップ 5.4.4.5.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 5.4.4.5.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.4.5.4.1

共通因数を約分します。

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 5.4.4.5.4.2

式を書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

ステップ 5.4.4.5.5

指数を求めます。

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

ステップ 5.4.5

分子を簡約します。

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ステップ 5.4.5.1

${\sqrt[3]{2}}^{2}$ を $\sqrt[3]{2^{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

ステップ 5.4.5.2

$2$ を $2$ 乗します。

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} \sqrt[3]{4}}{2}$

ステップ 5.4.6

分子を簡約します。

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ステップ 5.4.6.1

最小共通指数 $12$ を利用して式を書き換えます。

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ステップ 5.4.6.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{4}$ を $4^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{2}$

ステップ 5.4.6.1.2

$4^{\frac{1}{3}}$ を $4^{\frac{4}{12}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} \cdot 4^{\frac{4}{12}}}{2}$

ステップ 5.4.6.1.3

$4^{\frac{4}{12}}$ を $\sqrt[12]{4^{4}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} \sqrt[12]{4^{4}}}{2}$

ステップ 5.4.6.2

根の積の法則を使ってまとめます。

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243 \cdot 4^{4}}}{2}$

ステップ 5.4.6.3

$4$ を $4$ 乗します。

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243 \cdot 256}}{2}$

ステップ 5.4.7

$243$ に $256$ をかけます。

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{62208}}{2}$

ステップ 5.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 5.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{\sqrt[12]{62208}}{2}$

ステップ 5.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{\sqrt[12]{62208}}{2}$

ステップ 5.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{\sqrt[12]{62208}}{2}, - \frac{\sqrt[12]{62208}}{2}$

ステップ 6

$4 \log_{3} (2 x) + 8 \log_{3} (x) - 5 = 0$ が真にならない解を除外します。

$x = \frac{\sqrt[12]{62208}}{2}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \frac{\sqrt[12]{62208}}{2}$

10進法形式：

$x = 1.25446107 \dots$

微分積分学準備 例

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