微分積分学準備例

$\log_{4} (x^{2} - 2 x - 15) - \log_{4} (x + 3) = 2$

ステップ 1

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\log_{4} (\frac{x^{2} - 2 x - 15}{x + 3}) = 2$

ステップ 1.2

たすき掛けを利用して $x^{2} - 2 x - 15$ を因数分解します。

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ステップ 1.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 15$ で、その和が $- 2$ です。

$- 5, 3$

ステップ 1.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\log_{4} (\frac{(x - 5) (x + 3)}{x + 3}) = 2$

ステップ 1.3

$x + 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1

共通因数を約分します。

$\log_{4} (\frac{(x - 5) (x + 3)}{x + 3}) = 2$

ステップ 1.3.2

$x - 5$ を $1$ で割ります。

$\log_{4} (x - 5) = 2$

ステップ 2

対数の定義を利用して $\log_{4} (x - 5) = 2$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$4^{2} = x - 5$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $x - 5 = 4^{2}$ として書き換えます。

$x - 5 = 4^{2}$

ステップ 3.2

$4$ を $2$ 乗します。

$x - 5 = 16$

ステップ 3.3

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.3.1

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 16 + 5$

ステップ 3.3.2

$16$ と $5$ をたし算します。

$x = 21$

微分積分学準備 例