微分積分学準備例

$\log_{3} (x + 1) - 2 \log_{3} (x - 1) = 1$

ステップ 1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\log_{3} (x + 1) - 2 \log_{3} (x - 1) = 1$

ステップ 2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.1

$\log_{3} (x + 1) - 2 \log_{3} (x - 1)$ を簡約します。

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ステップ 2.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $- 2 \log_{3} (x - 1)$ を簡約します。

$\log_{3} (x + 1) - \log_{3} ({(x - 1)}^{2}) = 1$

ステップ 2.1.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\log_{3} (\frac{x + 1}{{(x - 1)}^{2}}) = 1$

ステップ 3

対数の定義を利用して $\log_{3} (\frac{x + 1}{{(x - 1)}^{2}}) = 1$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で、 $b$ $\neq$ $1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$3^{1} = \frac{x + 1}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4

分数を削除するためにたすき掛けします。

$x + 1 = 3 ({(x - 1)}^{2})$

ステップ 5

$3 ({(x - 1)}^{2})$ を簡約します。

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ステップ 5.1

${(x - 1)}^{2}$ を $(x - 1) (x - 1)$ に書き換えます。

$x + 1 = 3 ((x - 1) (x - 1))$

ステップ 5.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 1) (x - 1)$ を展開します。

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ステップ 5.2.1

分配則を当てはめます。

$x + 1 = 3 (x (x - 1) - 1 (x - 1))$

ステップ 5.2.2

分配則を当てはめます。

$x + 1 = 3 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))$

ステップ 5.2.3

分配則を当てはめます。

$x + 1 = 3 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)$

ステップ 5.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 5.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x + 1 = 3 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)$

ステップ 5.3.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$x + 1 = 3 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)$

ステップ 5.3.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$x + 1 = 3 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)$

ステップ 5.3.1.4

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$x + 1 = 3 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)$

ステップ 5.3.1.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x + 1 = 3 (x^{2} - x - x + 1)$

ステップ 5.3.2

$- x$ から $x$ を引きます。

$x + 1 = 3 (x^{2} - 2 x + 1)$

ステップ 5.4

分配則を当てはめます。

$x + 1 = 3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 1$

ステップ 5.5

簡約します。

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ステップ 5.5.1

$- 2$ に $3$ をかけます。

$x + 1 = 3 x^{2} - 6 x + 3 \cdot 1$

ステップ 5.5.2

$3$ に $1$ をかけます。

$x + 1 = 3 x^{2} - 6 x + 3$

ステップ 6

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 6.1

方程式の両辺から $3 x^{2}$ を引きます。

$x + 1 - 3 x^{2} = - 6 x + 3$

ステップ 6.2

方程式の両辺に $6 x$ を足します。

$x + 1 - 3 x^{2} + 6 x = 3$

ステップ 6.3

$x$ と $6 x$ をたし算します。

$7 x + 1 - 3 x^{2} = 3$

ステップ 7

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 7.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$7 x - 3 x^{2} = 3 - 1$

ステップ 7.2

$3$ から $1$ を引きます。

$7 x - 3 x^{2} = 2$

ステップ 8

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$7 x - 3 x^{2} - 2 = 0$

ステップ 9

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 9.1

$- 1$ を $7 x - 3 x^{2} - 2$ で因数分解します。

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ステップ 9.1.1

$7 x$ と $- 3 x^{2}$ を並べ替えます。

$- 3 x^{2} + 7 x - 2 = 0$

ステップ 9.1.2

$- 1$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$- (3 x^{2}) + 7 x - 2 = 0$

ステップ 9.1.3

$- 1$ を $7 x$ で因数分解します。

$- (3 x^{2}) - (- 7 x) - 2 = 0$

ステップ 9.1.4

$- 2$ を $- 1 (2)$ に書き換えます。

$- (3 x^{2}) - (- 7 x) - 1 \cdot 2 = 0$

ステップ 9.1.5

$- 1$ を $- (3 x^{2}) - (- 7 x)$ で因数分解します。

$- (3 x^{2} - 7 x) - 1 \cdot 2 = 0$

ステップ 9.1.6

$- 1$ を $- (3 x^{2} - 7 x) - 1 (2)$ で因数分解します。

$- (3 x^{2} - 7 x + 2) = 0$

ステップ 9.2

因数分解。

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ステップ 9.2.1

群による因数分解。

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ステップ 9.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 3 \cdot 2 = 6$ で和が $b = - 7$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 9.2.1.1.1

$- 7$ を $- 7 x$ で因数分解します。

$- (3 x^{2} - 7 x + 2) = 0$

ステップ 9.2.1.1.2

$- 7$ を $- 1$ プラス $- 6$ に書き換える

$- (3 x^{2} + (- 1 - 6) x + 2) = 0$

ステップ 9.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$- (3 x^{2} - 1 x - 6 x + 2) = 0$

ステップ 9.2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 9.2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$- ((3 x^{2} - 1 x) - 6 x + 2) = 0$

ステップ 9.2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$- (x (3 x - 1) - 2 (3 x - 1)) = 0$

ステップ 9.2.1.3

最大公約数 $3 x - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$- ((3 x - 1) (x - 2)) = 0$

ステップ 9.2.2

不要な括弧を削除します。

$- (3 x - 1) (x - 2) = 0$

ステップ 10

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$3 x - 1 = 0$

$x - 2 = 0$

ステップ 11

$3 x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 11.1

$3 x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$3 x - 1 = 0$

ステップ 11.2

$x$ について $3 x - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 11.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$3 x = 1$

ステップ 11.2.2

$3 x = 1$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 11.2.2.1

$3 x = 1$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

ステップ 11.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 11.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

ステップ 11.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{3}$

ステップ 12

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 12.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 12.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 13

最終解は $- (3 x - 1) (x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{1}{3}, 2$

ステップ 14

$\log_{3} (x + 1) - 2 \log_{3} (x - 1) = 1$ が真にならない解を除外します。

$x = 2$

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