微分積分学準備例

$\log_{2} (x - 10) + \log_{2} (x - 3) - \log_{2} (x) = 2$

ステップ 1

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\log_{2} ((x - 10) (x - 3)) - \log_{2} (x) = 2$

ステップ 1.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\log_{2} (\frac{(x - 10) (x - 3)}{x}) = 2$

ステップ 2

対数の定義を利用して $\log_{2} (\frac{(x - 10) (x - 3)}{x}) = 2$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で、 $b$ $\neq$ $1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$2^{2} = \frac{(x - 10) (x - 3)}{x}$

ステップ 3

分数を削除するためにたすき掛けします。

$(x - 10) (x - 3) = 2^{2} (x)$

ステップ 4

$2$ を $2$ 乗します。

$(x - 10) (x - 3) = 4 x$

ステップ 5

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺から $4 x$ を引きます。

$(x - 10) (x - 3) - 4 x = 0$

ステップ 5.2

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 10) (x - 3)$ を展開します。

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ステップ 5.2.1.1

分配則を当てはめます。

$x (x - 3) - 10 (x - 3) - 4 x = 0$

ステップ 5.2.1.2

分配則を当てはめます。

$x \cdot x + x \cdot - 3 - 10 (x - 3) - 4 x = 0$

ステップ 5.2.1.3

分配則を当てはめます。

$x \cdot x + x \cdot - 3 - 10 x - 10 \cdot - 3 - 4 x = 0$

ステップ 5.2.2

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 5.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} + x \cdot - 3 - 10 x - 10 \cdot - 3 - 4 x = 0$

ステップ 5.2.2.1.2

$- 3$ を $x$ の左に移動させます。

$x^{2} - 3 \cdot x - 10 x - 10 \cdot - 3 - 4 x = 0$

ステップ 5.2.2.1.3

$- 10$ に $- 3$ をかけます。

$x^{2} - 3 x - 10 x + 30 - 4 x = 0$

ステップ 5.2.2.2

$- 3 x$ から $10 x$ を引きます。

$x^{2} - 13 x + 30 - 4 x = 0$

ステップ 5.3

$- 13 x$ から $4 x$ を引きます。

$x^{2} - 17 x + 30 = 0$

ステップ 6

たすき掛けを利用して $x^{2} - 17 x + 30$ を因数分解します。

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ステップ 6.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $30$ で、その和が $- 17$ です。

$- 15, - 2$

ステップ 6.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 15) (x - 2) = 0$

ステップ 7

$(x - 15) (x - 2)$ を簡約します。

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ステップ 7.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 15) (x - 2)$ を展開します。

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ステップ 7.1.1

分配則を当てはめます。

$x (x - 2) - 15 (x - 2) = 0$

ステップ 7.1.2

分配則を当てはめます。

$x \cdot x + x \cdot - 2 - 15 (x - 2) = 0$

ステップ 7.1.3

分配則を当てはめます。

$x \cdot x + x \cdot - 2 - 15 x - 15 \cdot - 2 = 0$

ステップ 7.2

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} + x \cdot - 2 - 15 x - 15 \cdot - 2 = 0$

ステップ 7.2.1.2

$- 2$ を $x$ の左に移動させます。

$x^{2} - 2 \cdot x - 15 x - 15 \cdot - 2 = 0$

ステップ 7.2.1.3

$- 15$ に $- 2$ をかけます。

$x^{2} - 2 x - 15 x + 30 = 0$

ステップ 7.2.2

$- 2 x$ から $15 x$ を引きます。

$x^{2} - 17 x + 30 = 0$

ステップ 8

たすき掛けを利用して $x^{2} - 17 x + 30$ を因数分解します。

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ステップ 8.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $30$ で、その和が $- 17$ です。

$- 15, - 2$

ステップ 8.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 15) (x - 2) = 0$

ステップ 9

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 15 = 0$

$x - 2 = 0$

ステップ 10

$x - 15$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 10.1

$x - 15$ が $0$ に等しいとします。

$x - 15 = 0$

ステップ 10.2

方程式の両辺に $15$ を足します。

$x = 15$

ステップ 11

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 11.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 11.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 12

最終解は $(x - 15) (x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 15, 2$

ステップ 13

$\log_{2} (x - 10) + \log_{2} (x - 3) - \log_{2} (x) = 2$ が真にならない解を除外します。

$x = 15$

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