微分積分学準備例

$\log_{2} (x^{2} - 36) - \log_{2} (x + 6) = 1$

ステップ 1

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\log_{2} (\frac{x^{2} - 36}{x + 6}) = 1$

ステップ 1.2

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.1

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$\log_{2} (\frac{x^{2} - 6^{2}}{x + 6}) = 1$

ステップ 1.2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 6$ です。

$\log_{2} (\frac{(x + 6) (x - 6)}{x + 6}) = 1$

ステップ 1.3

$x + 6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1

共通因数を約分します。

$\log_{2} (\frac{(x + 6) (x - 6)}{x + 6}) = 1$

ステップ 1.3.2

$x - 6$ を $1$ で割ります。

$\log_{2} (x - 6) = 1$

ステップ 2

対数の定義を利用して $\log_{2} (x - 6) = 1$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$2^{1} = x - 6$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $x - 6 = 2^{1}$ として書き換えます。

$x - 6 = 2$

ステップ 3.2

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺に $6$ を足します。

$x = 2 + 6$

ステップ 3.2.2

$2$ と $6$ をたし算します。

$x = 8$

微分積分学準備 例