微分積分学準備例

$4 x^{2} + 3 y^{2} - 2 x + 5 y - 60 = 0$

ステップ 1

方程式の両辺に $60$ を足します。

$4 x^{2} + 3 y^{2} - 2 x + 5 y = 60$

ステップ 2

$4 x^{2} - 2 x$ の平方完成。

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ステップ 2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 4$

$b = - 2$

$c = 0$

ステップ 2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.3.2.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot 4$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (4)}$

ステップ 2.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 1}{4}$

ステップ 2.3.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$d = - \frac{1}{4}$

ステップ 2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 4}$

ステップ 2.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 4}$

ステップ 2.4.2.1.2

$4$ に $4$ をかけます。

$e = 0 - \frac{4}{16}$

ステップ 2.4.2.1.3

$4$ と $16$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.2.1.3.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$e = 0 - \frac{4 (1)}{16}$

ステップ 2.4.2.1.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.2.1.3.2.1

$4$ を $16$ で因数分解します。

$e = 0 - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}$

ステップ 2.4.2.1.3.2.2

共通因数を約分します。

$e = 0 - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}$

ステップ 2.4.2.1.3.2.3

式を書き換えます。

$e = 0 - \frac{1}{4}$

ステップ 2.4.2.2

$0$ から $\frac{1}{4}$ を引きます。

$e = - \frac{1}{4}$

ステップ 2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{4}$ に代入します。

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{4}$

ステップ 3

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{4}$ を方程式 $4 x^{2} + 3 y^{2} - 2 x + 5 y = 60$ の中の $4 x^{2} - 2 x$ に代入します。

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{4} + 3 y^{2} + 5 y = 60$

ステップ 4

両辺に $\frac{1}{4}$ を加えて、 $- \frac{1}{4}$ を方程式の右辺に移動させます。

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 y^{2} + 5 y = 60 + \frac{1}{4}$

ステップ 5

$3 y^{2} + 5 y$ の平方完成。

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ステップ 5.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 3$

$b = 5$

$c = 0$

ステップ 5.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 5.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{5}{2 \cdot 3}$

ステップ 5.3.2

$2$ に $3$ をかけます。

$d = \frac{5}{6}$

ステップ 5.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 5.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{5^{2}}{4 \cdot 3}$

ステップ 5.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1.1

$5$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{25}{4 \cdot 3}$

ステップ 5.4.2.1.2

$4$ に $3$ をかけます。

$e = 0 - \frac{25}{12}$

ステップ 5.4.2.2

$0$ から $\frac{25}{12}$ を引きます。

$e = - \frac{25}{12}$

ステップ 5.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{12}$ に代入します。

$3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{12}$

ステップ 6

$3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{12}$ を方程式 $4 x^{2} + 3 y^{2} - 2 x + 5 y = 60$ の中の $3 y^{2} + 5 y$ に代入します。

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{12} = 60 + \frac{1}{4}$

ステップ 7

両辺に $\frac{25}{12}$ を加えて、 $- \frac{25}{12}$ を方程式の右辺に移動させます。

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = 60 + \frac{1}{4} + \frac{25}{12}$

ステップ 8

$60 + \frac{1}{4} + \frac{25}{12}$ を簡約します。

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ステップ 8.1

公分母を求めます。

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ステップ 8.1.1

$60$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{60}{1} + \frac{1}{4} + \frac{25}{12}$

ステップ 8.1.2

$\frac{60}{1}$ に $\frac{12}{12}$ をかけます。

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{60}{1} \cdot \frac{12}{12} + \frac{1}{4} + \frac{25}{12}$

ステップ 8.1.3

$\frac{60}{1}$ に $\frac{12}{12}$ をかけます。

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{60 \cdot 12}{12} + \frac{1}{4} + \frac{25}{12}$

ステップ 8.1.4

$\frac{1}{4}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{60 \cdot 12}{12} + \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{25}{12}$

ステップ 8.1.5

$\frac{1}{4}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{60 \cdot 12}{12} + \frac{3}{4 \cdot 3} + \frac{25}{12}$

ステップ 8.1.6

$4 \cdot 3$ の因数を並べ替えます。

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{60 \cdot 12}{12} + \frac{3}{3 \cdot 4} + \frac{25}{12}$

ステップ 8.1.7

$3$ に $4$ をかけます。

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{60 \cdot 12}{12} + \frac{3}{12} + \frac{25}{12}$

ステップ 8.2

公分母の分子をまとめます。

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{60 \cdot 12 + 3 + 25}{12}$

ステップ 8.3

式を簡約します。

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ステップ 8.3.1

$60$ に $12$ をかけます。

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{720 + 3 + 25}{12}$

ステップ 8.3.2

$720$ と $3$ をたし算します。

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{723 + 25}{12}$

ステップ 8.3.3

$723$ と $25$ をたし算します。

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{748}{12}$

ステップ 8.4

$748$ と $12$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.4.1

$4$ を $748$ で因数分解します。

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{4 (187)}{12}$

ステップ 8.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.4.2.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{4 \cdot 187}{4 \cdot 3}$

ステップ 8.4.2.2

共通因数を約分します。

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{4 \cdot 187}{4 \cdot 3}$

ステップ 8.4.2.3

式を書き換えます。

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{187}{3}$

ステップ 9

各項を $\frac{187}{3}$ で割り、右辺を1と等しくします。

$\frac{4 {(x - \frac{1}{4})}^{2}}{\frac{187}{3}} + \frac{3 {(y + \frac{5}{6})}^{2}}{\frac{187}{3}} = \frac{\frac{187}{3}}{\frac{187}{3}}$

ステップ 10

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{{(x - \frac{1}{4})}^{2}}{\frac{187}{12}} + \frac{{(y + \frac{5}{6})}^{2}}{\frac{187}{9}} = 1$

微分積分学準備 例

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