微分積分学準備例

$y = 5 x - x^{2}$

ステップ 1

与えられた放物線の特性を求めます。

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ステップ 1.1

方程式を頂点形で書き換えます。

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ステップ 1.1.1

$5 x$ と $- x^{2}$ を並べ替えます。

$y = - x^{2} + 5 x$

ステップ 1.1.2

$- x^{2} + 5 x$ の平方完成。

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ステップ 1.1.2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = - 1$

$b = 5$

$c = 0$

ステップ 1.1.2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.1.2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{5}{2 \cdot - 1}$

ステップ 1.1.2.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.2.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$d = \frac{5}{- 2}$

ステップ 1.1.2.3.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$d = - \frac{5}{2}$

ステップ 1.1.2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{5^{2}}{4 \cdot - 1}$

ステップ 1.1.2.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.2.4.2.1.1

$5$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{25}{4 \cdot - 1}$

ステップ 1.1.2.4.2.1.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$e = 0 - \frac{25}{- 4}$

ステップ 1.1.2.4.2.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$e = 0 - - \frac{25}{4}$

ステップ 1.1.2.4.2.1.4

$- - \frac{25}{4}$ を掛けます。

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ステップ 1.1.2.4.2.1.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e = 0 + 1 (\frac{25}{4})$

ステップ 1.1.2.4.2.1.4.2

$\frac{25}{4}$ に $1$ をかけます。

$e = 0 + \frac{25}{4}$

ステップ 1.1.2.4.2.2

$0$ と $\frac{25}{4}$ をたし算します。

$e = \frac{25}{4}$

ステップ 1.1.2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $- {(x - \frac{5}{2})}^{2} + \frac{25}{4}$ に代入します。

$- {(x - \frac{5}{2})}^{2} + \frac{25}{4}$

ステップ 1.1.3

$y$ は新しい右辺と等しいとします。

$y = - {(x - \frac{5}{2})}^{2} + \frac{25}{4}$

ステップ 1.2

頂点形、 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = - 1$

$h = \frac{5}{2}$

$k = \frac{25}{4}$

ステップ 1.3

$a$ の値が負なので、放物線は下に開です。

下に開く

ステップ 1.4

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(\frac{5}{2}, \frac{25}{4})$

ステップ 1.5

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

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ステップ 1.5.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 1.5.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

ステップ 1.5.3

$1$ と $- 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.3.1

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

ステップ 1.5.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{4}$

ステップ 1.6

焦点を求めます。

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ステップ 1.6.1

放物線の焦点は、放物線が上下に開の場合、 $p$ をy座標 $k$ に加えて求められます。

$(h, k + p)$

ステップ 1.6.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(\frac{5}{2}, 6)$

ステップ 1.7

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

$x = \frac{5}{2}$

ステップ 1.8

準線を求めます。

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ステップ 1.8.1

放物線の準線は、放物線が上下に開の場合、頂点のy座標 $k$ から $p$ を引いて求められる水平線です。

$y = k - p$

ステップ 1.8.2

$p$ と $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$y = \frac{13}{2}$

ステップ 1.9

放物線の性質を利用して放物線を分析しグラフに描きます。

方向：下に開

頂点： $(\frac{5}{2}, \frac{25}{4})$

焦点： $(\frac{5}{2}, 6)$

対称軸： $x = \frac{5}{2}$

準線： $y = \frac{13}{2}$

方向：下に開

頂点： $(\frac{5}{2}, \frac{25}{4})$

焦点： $(\frac{5}{2}, 6)$

対称軸： $x = \frac{5}{2}$

準線： $y = \frac{13}{2}$

ステップ 2

$x$ 値をいくつか選択し、方程式に代入し対応する $y$ 値を求めます。 $x$ 値は頂点の周りで選択しなければなりません。

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ステップ 2.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = - {(1)}^{2} + 5 (1)$

ステップ 2.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = - 1 \cdot 1 + 5 (1)$

ステップ 2.2.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (1) = - 1 + 5 (1)$

ステップ 2.2.1.3

$5$ に $1$ をかけます。

$f (1) = - 1 + 5$

ステップ 2.2.2

$- 1$ と $5$ をたし算します。

$f (1) = 4$

ステップ 2.2.3

最終的な答えは $4$ です。

$4$

ステップ 2.3

$x = 1$ における $y$ 値は $4$ です。

$y = 4$

ステップ 2.4

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = - {(0)}^{2} + 5 (0)$

ステップ 2.5

結果を簡約します。

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ステップ 2.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.5.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = - 0 + 5 (0)$

ステップ 2.5.1.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 5 (0)$

ステップ 2.5.1.3

$5$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0$

ステップ 2.5.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0$

ステップ 2.5.3

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 2.6

$x = 0$ における $y$ 値は $0$ です。

$y = 0$

ステップ 2.7

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f (3) = - {(3)}^{2} + 5 (3)$

ステップ 2.8

結果を簡約します。

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ステップ 2.8.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.8.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$f (3) = - 1 \cdot 9 + 5 (3)$

ステップ 2.8.1.2

$- 1$ に $9$ をかけます。

$f (3) = - 9 + 5 (3)$

ステップ 2.8.1.3

$5$ に $3$ をかけます。

$f (3) = - 9 + 15$

ステップ 2.8.2

$- 9$ と $15$ をたし算します。

$f (3) = 6$

ステップ 2.8.3

最終的な答えは $6$ です。

$6$

ステップ 2.9

$x = 3$ における $y$ 値は $6$ です。

$y = 6$

ステップ 2.10

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f (4) = - {(4)}^{2} + 5 (4)$

ステップ 2.11

結果を簡約します。

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ステップ 2.11.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.11.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$f (4) = - 1 \cdot 16 + 5 (4)$

ステップ 2.11.1.2

$- 1$ に $16$ をかけます。

$f (4) = - 16 + 5 (4)$

ステップ 2.11.1.3

$5$ に $4$ をかけます。

$f (4) = - 16 + 20$

ステップ 2.11.2

$- 16$ と $20$ をたし算します。

$f (4) = 4$

ステップ 2.11.3

最終的な答えは $4$ です。

$4$

ステップ 2.12

$x = 4$ における $y$ 値は $4$ です。

$y = 4$

ステップ 2.13

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 1 & 4 \\ \frac{5}{2} & \frac{25}{4} \\ 3 & 6 \\ 4 & 4 \end{array}$

ステップ 3

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

方向：下に開

頂点： $(\frac{5}{2}, \frac{25}{4})$

焦点： $(\frac{5}{2}, 6)$

対称軸： $x = \frac{5}{2}$

準線： $y = \frac{13}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 1 & 4 \\ \frac{5}{2} & \frac{25}{4} \\ 3 & 6 \\ 4 & 4 \end{array}$

ステップ 4

微分積分学準備 例

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