微分積分学準備例

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64}$

ステップ 1

各項の間に公比があるので、これは等比数列です。この場合、数列の前の項に $\frac{1}{2}$ を掛けると、次の項が得られます。言い換えると、 $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ です。

等比数列： $r = \frac{1}{2}$

ステップ 2

等比数列の形です。

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

ステップ 3

$a_{1} = 1$ と $r = \frac{1}{2}$ の値に代入します。

$a_{n} = 1 {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$

ステップ 4

${(\frac{1}{2})}^{n - 1}$ に $1$ をかけます。

$a_{n} = {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$

ステップ 5

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$a_{n} = \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}}$

ステップ 6

1のすべての数の累乗は1です。

$a_{n} = \frac{1}{2^{n - 1}}$

ステップ 7

等比数列の1番目 $n$ 項の和を求める公式です。値を求めるには、 $r$ と $a_{1}$ の値を求めます。

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

ステップ 8

変数を既知の値で置き換え、 $S_{7}$ を求めます。

$S_{7} = 1 \cdot \frac{{(\frac{1}{2})}^{7} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$

ステップ 9

$\frac{{(\frac{1}{2})}^{7} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$ に $1$ をかけます。

$S_{7} = \frac{{(\frac{1}{2})}^{7} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$

ステップ 10

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2$ .

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ステップ 10.1

$\frac{{(\frac{1}{2})}^{7} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$S_{7} = \frac{2}{2} \cdot \frac{{(\frac{1}{2})}^{7} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$

ステップ 10.2

まとめる。

$S_{7} = \frac{2 ({(\frac{1}{2})}^{7} - 1)}{2 (\frac{1}{2} - 1)}$

ステップ 11

分配則を当てはめます。

$S_{7} = \frac{2 {(\frac{1}{2})}^{7} + 2 \cdot - 1}{2 (\frac{1}{2}) + 2 \cdot - 1}$

ステップ 12

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.1

共通因数を約分します。

$S_{7} = \frac{2 {(\frac{1}{2})}^{7} + 2 \cdot - 1}{2 (\frac{1}{2}) + 2 \cdot - 1}$

ステップ 12.2

式を書き換えます。

$S_{7} = \frac{2 {(\frac{1}{2})}^{7} + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

ステップ 13

分子を簡約します。

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ステップ 13.1

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$S_{7} = \frac{2 (\frac{1^{7}}{2^{7}}) + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

ステップ 13.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.2.1

$2$ を $2^{7}$ で因数分解します。

$S_{7} = \frac{2 (\frac{1^{7}}{2 \cdot 2^{6}}) + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

ステップ 13.2.2

共通因数を約分します。

$S_{7} = \frac{2 (\frac{1^{7}}{2 \cdot 2^{6}}) + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

ステップ 13.2.3

式を書き換えます。

$S_{7} = \frac{\frac{1^{7}}{2^{6}} + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

ステップ 13.3

1のすべての数の累乗は1です。

$S_{7} = \frac{\frac{1}{2^{6}} + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

ステップ 13.4

$2$ を $6$ 乗します。

$S_{7} = \frac{\frac{1}{64} + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

ステップ 13.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$S_{7} = \frac{\frac{1}{64} - 2}{1 + 2 \cdot - 1}$

ステップ 13.6

$- 2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{64}{64}$ を掛けます。

$S_{7} = \frac{\frac{1}{64} - 2 \cdot \frac{64}{64}}{1 + 2 \cdot - 1}$

ステップ 13.7

$- 2$ と $\frac{64}{64}$ をまとめます。

$S_{7} = \frac{\frac{1}{64} + \frac{- 2 \cdot 64}{64}}{1 + 2 \cdot - 1}$

ステップ 13.8

公分母の分子をまとめます。

$S_{7} = \frac{\frac{1 - 2 \cdot 64}{64}}{1 + 2 \cdot - 1}$

ステップ 13.9

分子を簡約します。

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ステップ 13.9.1

$- 2$ に $64$ をかけます。

$S_{7} = \frac{\frac{1 - 128}{64}}{1 + 2 \cdot - 1}$

ステップ 13.9.2

$1$ から $128$ を引きます。

$S_{7} = \frac{\frac{- 127}{64}}{1 + 2 \cdot - 1}$

ステップ 13.10

分数の前に負数を移動させます。

$S_{7} = \frac{- \frac{127}{64}}{1 + 2 \cdot - 1}$

ステップ 14

分母を簡約します。

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ステップ 14.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$S_{7} = \frac{- \frac{127}{64}}{1 - 2}$

ステップ 14.2

$1$ から $2$ を引きます。

$S_{7} = \frac{- \frac{127}{64}}{- 1}$

ステップ 15

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 15.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$S_{7} = \frac{\frac{127}{64}}{1}$

ステップ 15.2

$\frac{127}{64}$ を $1$ で割ります。

$S_{7} = \frac{127}{64}$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例