微分積分学準備例

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{16} - \frac{{(x + 5)}^{2}}{25} = 1$

ステップ 1

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{16} - \frac{{(x + 5)}^{2}}{25} = 1$

ステップ 2

双曲線の形です。この形を利用して、双曲線の頂点と漸近線を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

ステップ 3

この双曲線の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点 $a$ からのy補正値を表します。

$a = 4$

$b = 5$

$k = 3$

$h = - 5$

ステップ 4

双曲線の中心は $(h, k)$ の形に従います。 $h$ と $k$ の値に代入します。

$(- 5, 3)$

ステップ 5

中心から焦点までの距離 $c$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して双曲線の中心から焦点までの距離を求めます。

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 5.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\sqrt{{(4)}^{2} + {(5)}^{2}}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

$4$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{16 + {(5)}^{2}}$

ステップ 5.3.2

$5$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{16 + 25}$

ステップ 5.3.3

$16$ と $25$ をたし算します。

$\sqrt{41}$

ステップ 6

対頂点を求めます。

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ステップ 6.1

双曲線の1番目の頂点は、 $a$ を $k$ に加えることで求められます。

$(h, k + a)$

ステップ 6.2

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- 5, 7)$

ステップ 6.3

双曲線の2番目の頂点は、 $k$ から $a$ を引くことで求められます。

$(h, k - a)$

ステップ 6.4

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- 5, - 1)$

ステップ 6.5

双曲線の交点は $(h, k \pm a)$ の形をとります。双曲線は2つの頂点をもちます。

$(- 5, 7), (- 5, - 1)$

ステップ 7

焦点を求めます。

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ステップ 7.1

双曲線の1番目の焦点は、 $c$ を $k$ に加えることで求められます。

$(h, k + c)$

ステップ 7.2

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- 5, 3 + \sqrt{41})$

ステップ 7.3

双曲線の2番目の焦点は、 $k$ から $c$ を引くことで求められます。

$(h, k - c)$

ステップ 7.4

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- 5, 3 - \sqrt{41})$

ステップ 7.5

双曲線の焦点は $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ の形をとります。双曲線は2つの焦点をもちます。

$(- 5, 3 + \sqrt{41}), (- 5, 3 - \sqrt{41})$

ステップ 8

離心率を求めます。

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ステップ 8.1

次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

ステップ 8.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} + {(5)}^{2}}}{4}$

ステップ 8.3

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.1

$4$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{16 + 5^{2}}}{4}$

ステップ 8.3.2

$5$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{16 + 25}}{4}$

ステップ 8.3.3

$16$ と $25$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{41}}{4}$

ステップ 9

焦点パラメーターを求めます。

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ステップ 9.1

次の公式を利用して双曲線の焦点パラメータの値を求めます。

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

ステップ 9.2

$b$ と $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ の値を公式に代入します。

$\frac{5^{2}}{\sqrt{41}}$

ステップ 9.3

簡約します。

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ステップ 9.3.1

$5$ を $2$ 乗します。

$\frac{25}{\sqrt{41}}$

ステップ 9.3.2

$\frac{25}{\sqrt{41}}$ に $\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41}}$ をかけます。

$\frac{25}{\sqrt{41}} \cdot \frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41}}$

ステップ 9.3.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 9.3.3.1

$\frac{25}{\sqrt{41}}$ に $\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41}}$ をかけます。

$\frac{25 \sqrt{41}}{\sqrt{41} \sqrt{41}}$

ステップ 9.3.3.2

$\sqrt{41}$ を $1$ 乗します。

$\frac{25 \sqrt{41}}{{\sqrt{41}}^{1} \sqrt{41}}$

ステップ 9.3.3.3

$\sqrt{41}$ を $1$ 乗します。

$\frac{25 \sqrt{41}}{{\sqrt{41}}^{1} {\sqrt{41}}^{1}}$

ステップ 9.3.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{25 \sqrt{41}}{{\sqrt{41}}^{1 + 1}}$

ステップ 9.3.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{25 \sqrt{41}}{{\sqrt{41}}^{2}}$

ステップ 9.3.3.6

${\sqrt{41}}^{2}$ を $41$ に書き換えます。

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ステップ 9.3.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{41}$ を $41^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{25 \sqrt{41}}{{(41^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 9.3.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{25 \sqrt{41}}{41^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 9.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{25 \sqrt{41}}{41^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 9.3.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{25 \sqrt{41}}{41^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 9.3.3.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{25 \sqrt{41}}{41^{1}}$

ステップ 9.3.3.6.5

指数を求めます。

$\frac{25 \sqrt{41}}{41}$

ステップ 10

この双曲線は上下に開なので、漸近線は $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ の形に従います。

$y = \pm \frac{4}{5} \cdot (x - (- 5)) + 3$

ステップ 11

簡約し、1番目の漸近線を求めます。

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ステップ 11.1

括弧を削除します。

$y = \frac{4}{5} \cdot (x - (- 5)) + 3$

ステップ 11.2

$\frac{4}{5} \cdot (x - (- 5)) + 3$ を簡約します。

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ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 11.2.1.1

$- 1$ に $- 5$ をかけます。

$y = \frac{4}{5} \cdot (x + 5) + 3$

ステップ 11.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y = \frac{4}{5} x + \frac{4}{5} \cdot 5 + 3$

ステップ 11.2.1.3

$\frac{4}{5}$ と $x$ をまとめます。

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{4}{5} \cdot 5 + 3$

ステップ 11.2.1.4

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.2.1.4.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{4}{5} \cdot 5 + 3$

ステップ 11.2.1.4.2

式を書き換えます。

$y = \frac{4 x}{5} + 4 + 3$

ステップ 11.2.2

$4$ と $3$ をたし算します。

$y = \frac{4 x}{5} + 7$

ステップ 12

簡約し、2番目の漸近線を求めます。

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ステップ 12.1

括弧を削除します。

$y = - \frac{4}{5} \cdot (x - (- 5)) + 3$

ステップ 12.2

$- \frac{4}{5} \cdot (x - (- 5)) + 3$ を簡約します。

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ステップ 12.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 12.2.1.1

$- 1$ に $- 5$ をかけます。

$y = - \frac{4}{5} \cdot (x + 5) + 3$

ステップ 12.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y = - \frac{4}{5} x - \frac{4}{5} \cdot 5 + 3$

ステップ 12.2.1.3

$x$ と $\frac{4}{5}$ をまとめます。

$y = - \frac{x \cdot 4}{5} - \frac{4}{5} \cdot 5 + 3$

ステップ 12.2.1.4

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.2.1.4.1

$- \frac{4}{5}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y = - \frac{x \cdot 4}{5} + \frac{- 4}{5} \cdot 5 + 3$

ステップ 12.2.1.4.2

共通因数を約分します。

$y = - \frac{x \cdot 4}{5} + \frac{- 4}{5} \cdot 5 + 3$

ステップ 12.2.1.4.3

式を書き換えます。

$y = - \frac{x \cdot 4}{5} - 4 + 3$

ステップ 12.2.1.5

$4$ を $x$ の左に移動させます。

$y = - \frac{4 x}{5} - 4 + 3$

ステップ 12.2.2

$- 4$ と $3$ をたし算します。

$y = - \frac{4 x}{5} - 1$

ステップ 13

この双曲線には2本の漸近線があります。

$y = \frac{4 x}{5} + 7, y = - \frac{4 x}{5} - 1$

ステップ 14

これらの値は双曲線をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(- 5, 3)$

頂点： $(- 5, 7), (- 5, - 1)$

焦点： $(- 5, 3 + \sqrt{41}), (- 5, 3 - \sqrt{41})$

偏心： $\frac{\sqrt{41}}{4}$

焦点のパラメータ： $\frac{25 \sqrt{41}}{41}$

漸近線： $y = \frac{4 x}{5} + 7$ 、 $y = - \frac{4 x}{5} - 1$

ステップ 15

微分積分学準備 例

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