微分積分学準備例

$y^{2} - 3 x + 14 y + 55 = 0$

ステップ 1

方程式を頂点形で書き換えます。

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ステップ 1.1

方程式の左辺に $x$ を取り出します。

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ステップ 1.1.1

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 1.1.1.1

方程式の両辺から $y^{2}$ を引きます。

$- 3 x + 14 y + 55 = - y^{2}$

ステップ 1.1.1.2

方程式の両辺から $14 y$ を引きます。

$- 3 x + 55 = - y^{2} - 14 y$

ステップ 1.1.1.3

方程式の両辺から $55$ を引きます。

$- 3 x = - y^{2} - 14 y - 55$

ステップ 1.1.2

$- 3 x = - y^{2} - 14 y - 55$ の各項を $- 3$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.2.1

$- 3 x = - y^{2} - 14 y - 55$ の各項を $- 3$ で割ります。

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- y^{2}}{- 3} + \frac{- 14 y}{- 3} + \frac{- 55}{- 3}$

ステップ 1.1.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.2.1

$- 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- y^{2}}{- 3} + \frac{- 14 y}{- 3} + \frac{- 55}{- 3}$

ステップ 1.1.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- y^{2}}{- 3} + \frac{- 14 y}{- 3} + \frac{- 55}{- 3}$

ステップ 1.1.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$x = \frac{y^{2}}{3} + \frac{- 14 y}{- 3} + \frac{- 55}{- 3}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

2つの負の値を割ると正の値になります。

$x = \frac{y^{2}}{3} + \frac{14 y}{3} + \frac{- 55}{- 3}$

ステップ 1.1.2.3.1.3

2つの負の値を割ると正の値になります。

$x = \frac{y^{2}}{3} + \frac{14 y}{3} + \frac{55}{3}$

ステップ 1.2

$\frac{y^{2}}{3} + \frac{14 y}{3} + \frac{55}{3}$ の平方完成。

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ステップ 1.2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = \frac{1}{3}$

$b = \frac{14}{3}$

$c = \frac{55}{3}$

ステップ 1.2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{\frac{14}{3}}{2 (\frac{1}{3})}$

ステップ 1.2.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$d = \frac{14}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{3})}$

ステップ 1.2.3.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.2.1

$2$ を $14$ で因数分解します。

$d = \frac{2 (7)}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{3})}$

ステップ 1.2.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot 7}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{3})}$

ステップ 1.2.3.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{7}{3} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3}}$

ステップ 1.2.3.2.3

$\frac{7}{3}$ に $\frac{1}{\frac{1}{3}}$ をかけます。

$d = \frac{7}{3 (\frac{1}{3})}$

ステップ 1.2.3.2.4

$3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$d = \frac{7}{\frac{3}{3}}$

ステップ 1.2.3.2.5

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.5.1

共通因数を約分します。

$d = \frac{7}{\frac{3}{3}}$

ステップ 1.2.3.2.5.2

式を書き換えます。

$d = \frac{7}{1}$

ステップ 1.2.3.2.6

$7$ を $1$ で割ります。

$d = 7$

ステップ 1.2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = \frac{55}{3} - \frac{{(\frac{14}{3})}^{2}}{4 (\frac{1}{3})}$

ステップ 1.2.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1.1.1

積の法則を $\frac{14}{3}$ に当てはめます。

$e = \frac{55}{3} - \frac{\frac{14^{2}}{3^{2}}}{4 (\frac{1}{3})}$

ステップ 1.2.4.2.1.1.2

$14$ を $2$ 乗します。

$e = \frac{55}{3} - \frac{\frac{196}{3^{2}}}{4 (\frac{1}{3})}$

ステップ 1.2.4.2.1.1.3

$3$ を $2$ 乗します。

$e = \frac{55}{3} - \frac{\frac{196}{9}}{4 (\frac{1}{3})}$

ステップ 1.2.4.2.1.2

$4$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$e = \frac{55}{3} - \frac{\frac{196}{9}}{\frac{4}{3}}$

ステップ 1.2.4.2.1.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$e = \frac{55}{3} - (\frac{196}{9} \cdot \frac{3}{4})$

ステップ 1.2.4.2.1.4

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.4.2.1.4.1

$4$ を $196$ で因数分解します。

$e = \frac{55}{3} - (\frac{4 (49)}{9} \cdot \frac{3}{4})$

ステップ 1.2.4.2.1.4.2

共通因数を約分します。

$e = \frac{55}{3} - (\frac{4 \cdot 49}{9} \cdot \frac{3}{4})$

ステップ 1.2.4.2.1.4.3

式を書き換えます。

$e = \frac{55}{3} - (\frac{49}{9} \cdot 3)$

ステップ 1.2.4.2.1.5

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.4.2.1.5.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$e = \frac{55}{3} - (\frac{49}{3 (3)} \cdot 3)$

ステップ 1.2.4.2.1.5.2

共通因数を約分します。

$e = \frac{55}{3} - (\frac{49}{3 \cdot 3} \cdot 3)$

ステップ 1.2.4.2.1.5.3

式を書き換えます。

$e = \frac{55}{3} - \frac{49}{3}$

ステップ 1.2.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$e = \frac{55 - 49}{3}$

ステップ 1.2.4.2.3

$55$ から $49$ を引きます。

$e = \frac{6}{3}$

ステップ 1.2.4.2.4

$6$ を $3$ で割ります。

$e = 2$

ステップ 1.2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $\frac{1}{3} {(y + 7)}^{2} + 2$ に代入します。

$\frac{1}{3} {(y + 7)}^{2} + 2$

ステップ 1.3

$x$ は新しい右辺と等しいとします。

$x = \frac{1}{3} \cdot {(y + 7)}^{2} + 2$

ステップ 2

頂点形、 $x = a {(y - k)}^{2} + h$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = \frac{1}{3}$

$h = 2$

$k = - 7$

ステップ 3

$a$ の値が正なので、放物線は右に開です。

右に開く

ステップ 4

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(2, - 7)$

ステップ 5

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 5.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{3}}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

$4$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{\frac{4}{3}}$

ステップ 5.3.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$1 (\frac{3}{4})$

ステップ 5.3.3

$\frac{3}{4}$ に $1$ をかけます。

$\frac{3}{4}$

ステップ 6

焦点を求めます。

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ステップ 6.1

放物線の焦点は、放物線が左右に開の場合、 $p$ をx座標 $h$ に加えて求められます。

$(h + p, k)$

ステップ 6.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(\frac{11}{4}, - 7)$

ステップ 7

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

$y = - 7$

ステップ 8

準線を求めます。

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ステップ 8.1

放物線の準線は、放物線が左右に開の場合、頂点のx座標 $h$ から $p$ を引いて求められる垂直線です。

$x = h - p$

ステップ 8.2

$p$ と $h$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$x = \frac{5}{4}$

ステップ 9

放物線の性質を利用して放物線を分析しグラフに描きます。

方向：右に開

頂点： $(2, - 7)$

焦点： $(\frac{11}{4}, - 7)$

対称軸： $y = - 7$

準線： $x = \frac{5}{4}$

ステップ 10

微分積分学準備 例

微分積分学準備例