微分積分学準備例

$(\sqrt{3}, \frac{π}{6})$

ステップ 1

変換式を使って直交座標 $(x, y)$ を極座標 $(r, θ)$ に交換します。

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 2

$x$ と $y$ を実数で置き換えます。

$r = \sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} + {(\frac{π}{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3

極座標表の大きさを求めます。

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ステップ 3.1

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 3.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$r = \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(\frac{π}{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$r = \sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(\frac{π}{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$r = \sqrt{3^{\frac{2}{2}} + {(\frac{π}{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.4.1

共通因数を約分します。

$r = \sqrt{3^{\frac{2}{2}} + {(\frac{π}{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.1.4.2

式を書き換えます。

$r = \sqrt{3 + {(\frac{π}{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{3 + {(\frac{π}{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.1.5

指数を求めます。

$r = \sqrt{3 + {(\frac{π}{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{3 + {(\frac{π}{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.2

式を簡約します。

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ステップ 3.2.1

積の法則を $\frac{π}{6}$ に当てはめます。

$r = \sqrt{3 + \frac{π^{2}}{6^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.2.2

$6$ を $2$ 乗します。

$r = \sqrt{3 + \frac{π^{2}}{36}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{3 + \frac{π^{2}}{36}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.3

$3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{36}{36}$ を掛けます。

$r = \sqrt{3 \cdot \frac{36}{36} + \frac{π^{2}}{36}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.4

$3$ と $\frac{36}{36}$ をまとめます。

$r = \sqrt{\frac{3 \cdot 36}{36} + \frac{π^{2}}{36}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.5

式を簡約します。

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ステップ 3.5.1

公分母の分子をまとめます。

$r = \sqrt{\frac{3 \cdot 36 + π^{2}}{36}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.5.2

$3$ に $36$ をかけます。

$r = \sqrt{\frac{108 + π^{2}}{36}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{108 + π^{2}}{36}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.6

$\sqrt{\frac{108 + π^{2}}{36}}$ を $\frac{\sqrt{108 + π^{2}}}{\sqrt{36}}$ に書き換えます。

$r = \frac{\sqrt{108 + π^{2}}}{\sqrt{36}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.7

分母を簡約します。

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ステップ 3.7.1

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$r = \frac{\sqrt{108 + π^{2}}}{\sqrt{6^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.7.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$r = \frac{\sqrt{108 + π^{2}}}{6}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{\sqrt{108 + π^{2}}}{6}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{\sqrt{108 + π^{2}}}{6}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 4

$x$ と $y$ を実数で置き換えます。

$r = \frac{\sqrt{108 + π^{2}}}{6}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{\frac{π}{6}}{\sqrt{3}})$

ステップ 5

$\frac{π \sqrt{3}}{18}$ の逆正切は $θ = 16.82006135 °$ です。

$r = \frac{\sqrt{108 + π^{2}}}{6}$

$θ = 16.82006135 °$

ステップ 6

$(r, θ)$ 形式で極座標に変換した結果です。

$(\frac{\sqrt{108 + π^{2}}}{6}, 16.82006135 °)$

微分積分学準備 例

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