微分積分学準備例

$4 x - 3 y + 2 z = 15$ , $- 2 x + y - 3 z = - 15$ , $5 x - 5 y + 2 z = 18$

ステップ 1

連立方程式を行列形式で表します。

$[\begin{array}{c} 4 & - 3 & 2 \\ - 2 & 1 & - 3 \\ 5 & - 5 & 2 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 15 \\ - 15 \\ 18 \end{array}]$

ステップ 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} 4 & - 3 & 2 \\ - 2 & 1 & - 3 \\ 5 & - 5 & 2 \end{array}]$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

Write $[\begin{array}{c} 4 & - 3 & 2 \\ - 2 & 1 & - 3 \\ 5 & - 5 & 2 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} 4 & - 3 & 2 \\ - 2 & 1 & - 3 \\ 5 & - 5 & 2 \end{array} |$

ステップ 2.2

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 2.2.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

ステップ 2.2.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 3 \\ - 5 & 2 \end{array} |$

ステップ 2.2.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$4 | \begin{array}{c} 1 & - 3 \\ - 5 & 2 \end{array} |$

ステップ 2.2.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & - 3 \\ 5 & 2 \end{array} |$

ステップ 2.2.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$3 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 \\ 5 & 2 \end{array} |$

ステップ 2.2.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 5 & - 5 \end{array} |$

ステップ 2.2.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 5 & - 5 \end{array} |$

ステップ 2.2.9

Add the terms together.

$4 | \begin{array}{c} 1 & - 3 \\ - 5 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 \\ 5 & 2 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 5 & - 5 \end{array} |$

ステップ 2.3

$| \begin{array}{c} 1 & - 3 \\ - 5 & 2 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$4 (1 \cdot 2 - (- 5 \cdot - 3)) + 3 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 \\ 5 & 2 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 5 & - 5 \end{array} |$

ステップ 2.3.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

$2$ に $1$ をかけます。

$4 (2 - (- 5 \cdot - 3)) + 3 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 \\ 5 & 2 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 5 & - 5 \end{array} |$

ステップ 2.3.2.1.2

$- (- 5 \cdot - 3)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.2.1

$- 5$ に $- 3$ をかけます。

$4 (2 - 1 \cdot 15) + 3 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 \\ 5 & 2 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 5 & - 5 \end{array} |$

ステップ 2.3.2.1.2.2

$- 1$ に $15$ をかけます。

$4 (2 - 15) + 3 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 \\ 5 & 2 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 5 & - 5 \end{array} |$

ステップ 2.3.2.2

$2$ から $15$ を引きます。

$4 \cdot - 13 + 3 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 \\ 5 & 2 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 5 & - 5 \end{array} |$

ステップ 2.4

$| \begin{array}{c} - 2 & - 3 \\ 5 & 2 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$4 \cdot - 13 + 3 (- 2 \cdot 2 - 5 \cdot - 3) + 2 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 5 & - 5 \end{array} |$

ステップ 2.4.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.1

$- 2$ に $2$ をかけます。

$4 \cdot - 13 + 3 (- 4 - 5 \cdot - 3) + 2 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 5 & - 5 \end{array} |$

ステップ 2.4.2.1.2

$- 5$ に $- 3$ をかけます。

$4 \cdot - 13 + 3 (- 4 + 15) + 2 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 5 & - 5 \end{array} |$

ステップ 2.4.2.2

$- 4$ と $15$ をたし算します。

$4 \cdot - 13 + 3 \cdot 11 + 2 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 5 & - 5 \end{array} |$

ステップ 2.5

$| \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 5 & - 5 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$4 \cdot - 13 + 3 \cdot 11 + 2 (- 2 \cdot - 5 - 5 \cdot 1)$

ステップ 2.5.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1.1

$- 2$ に $- 5$ をかけます。

$4 \cdot - 13 + 3 \cdot 11 + 2 (10 - 5 \cdot 1)$

ステップ 2.5.2.1.2

$- 5$ に $1$ をかけます。

$4 \cdot - 13 + 3 \cdot 11 + 2 (10 - 5)$

ステップ 2.5.2.2

$10$ から $5$ を引きます。

$4 \cdot - 13 + 3 \cdot 11 + 2 \cdot 5$

ステップ 2.6

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1.1

$4$ に $- 13$ をかけます。

$- 52 + 3 \cdot 11 + 2 \cdot 5$

ステップ 2.6.1.2

$3$ に $11$ をかけます。

$- 52 + 33 + 2 \cdot 5$

ステップ 2.6.1.3

$2$ に $5$ をかけます。

$- 52 + 33 + 10$

ステップ 2.6.2

$- 52$ と $33$ をたし算します。

$- 19 + 10$

ステップ 2.6.3

$- 19$ と $10$ をたし算します。

$- 9$

$D = - 9$

ステップ 3

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

ステップ 4

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 15 \\ - 15 \\ 18 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 15 & - 3 & 2 \\ - 15 & 1 & - 3 \\ 18 & - 5 & 2 \end{array} |$

ステップ 4.2

Find the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 4.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

ステップ 4.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 3 \\ - 5 & 2 \end{array} |$

ステップ 4.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$15 | \begin{array}{c} 1 & - 3 \\ - 5 & 2 \end{array} |$

ステップ 4.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 15 & - 3 \\ 18 & 2 \end{array} |$

ステップ 4.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$3 | \begin{array}{c} - 15 & - 3 \\ 18 & 2 \end{array} |$

ステップ 4.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 15 & 1 \\ 18 & - 5 \end{array} |$

ステップ 4.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} - 15 & 1 \\ 18 & - 5 \end{array} |$

ステップ 4.2.1.9

Add the terms together.

$15 | \begin{array}{c} 1 & - 3 \\ - 5 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 15 & - 3 \\ 18 & 2 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 15 & 1 \\ 18 & - 5 \end{array} |$

ステップ 4.2.2

$| \begin{array}{c} 1 & - 3 \\ - 5 & 2 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$15 (1 \cdot 2 - (- 5 \cdot - 3)) + 3 | \begin{array}{c} - 15 & - 3 \\ 18 & 2 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 15 & 1 \\ 18 & - 5 \end{array} |$

ステップ 4.2.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.1.1

$2$ に $1$ をかけます。

$15 (2 - (- 5 \cdot - 3)) + 3 | \begin{array}{c} - 15 & - 3 \\ 18 & 2 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 15 & 1 \\ 18 & - 5 \end{array} |$

ステップ 4.2.2.2.1.2

$- (- 5 \cdot - 3)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.1.2.1

$- 5$ に $- 3$ をかけます。

$15 (2 - 1 \cdot 15) + 3 | \begin{array}{c} - 15 & - 3 \\ 18 & 2 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 15 & 1 \\ 18 & - 5 \end{array} |$

ステップ 4.2.2.2.1.2.2

$- 1$ に $15$ をかけます。

$15 (2 - 15) + 3 | \begin{array}{c} - 15 & - 3 \\ 18 & 2 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 15 & 1 \\ 18 & - 5 \end{array} |$

ステップ 4.2.2.2.2

$2$ から $15$ を引きます。

$15 \cdot - 13 + 3 | \begin{array}{c} - 15 & - 3 \\ 18 & 2 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 15 & 1 \\ 18 & - 5 \end{array} |$

ステップ 4.2.3

$| \begin{array}{c} - 15 & - 3 \\ 18 & 2 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$15 \cdot - 13 + 3 (- 15 \cdot 2 - 18 \cdot - 3) + 2 | \begin{array}{c} - 15 & 1 \\ 18 & - 5 \end{array} |$

ステップ 4.2.3.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.2.1.1

$- 15$ に $2$ をかけます。

$15 \cdot - 13 + 3 (- 30 - 18 \cdot - 3) + 2 | \begin{array}{c} - 15 & 1 \\ 18 & - 5 \end{array} |$

ステップ 4.2.3.2.1.2

$- 18$ に $- 3$ をかけます。

$15 \cdot - 13 + 3 (- 30 + 54) + 2 | \begin{array}{c} - 15 & 1 \\ 18 & - 5 \end{array} |$

ステップ 4.2.3.2.2

$- 30$ と $54$ をたし算します。

$15 \cdot - 13 + 3 \cdot 24 + 2 | \begin{array}{c} - 15 & 1 \\ 18 & - 5 \end{array} |$

ステップ 4.2.4

$| \begin{array}{c} - 15 & 1 \\ 18 & - 5 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$15 \cdot - 13 + 3 \cdot 24 + 2 (- 15 \cdot - 5 - 18 \cdot 1)$

ステップ 4.2.4.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.2.1.1

$- 15$ に $- 5$ をかけます。

$15 \cdot - 13 + 3 \cdot 24 + 2 (75 - 18 \cdot 1)$

ステップ 4.2.4.2.1.2

$- 18$ に $1$ をかけます。

$15 \cdot - 13 + 3 \cdot 24 + 2 (75 - 18)$

ステップ 4.2.4.2.2

$75$ から $18$ を引きます。

$15 \cdot - 13 + 3 \cdot 24 + 2 \cdot 57$

ステップ 4.2.5

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.1.1

$15$ に $- 13$ をかけます。

$- 195 + 3 \cdot 24 + 2 \cdot 57$

ステップ 4.2.5.1.2

$3$ に $24$ をかけます。

$- 195 + 72 + 2 \cdot 57$

ステップ 4.2.5.1.3

$2$ に $57$ をかけます。

$- 195 + 72 + 114$

ステップ 4.2.5.2

$- 195$ と $72$ をたし算します。

$- 123 + 114$

ステップ 4.2.5.3

$- 123$ と $114$ をたし算します。

$- 9$

$D_{x} = - 9$

ステップ 4.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

ステップ 4.4

Substitute $- 9$ for $D$ and $- 9$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{- 9}{- 9}$

ステップ 4.5

$- 9$ を $- 9$ で割ります。

$x = 1$

ステップ 5

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 15 \\ - 15 \\ 18 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 4 & 15 & 2 \\ - 2 & - 15 & - 3 \\ 5 & 18 & 2 \end{array} |$

ステップ 5.2

Find the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 5.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

ステップ 5.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 15 & - 3 \\ 18 & 2 \end{array} |$

ステップ 5.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$4 | \begin{array}{c} - 15 & - 3 \\ 18 & 2 \end{array} |$

ステップ 5.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & - 3 \\ 5 & 2 \end{array} |$

ステップ 5.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 15 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 \\ 5 & 2 \end{array} |$

ステップ 5.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & - 15 \\ 5 & 18 \end{array} |$

ステップ 5.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} - 2 & - 15 \\ 5 & 18 \end{array} |$

ステップ 5.2.1.9

Add the terms together.

$4 | \begin{array}{c} - 15 & - 3 \\ 18 & 2 \end{array} | - 15 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 \\ 5 & 2 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 2 & - 15 \\ 5 & 18 \end{array} |$

ステップ 5.2.2

$| \begin{array}{c} - 15 & - 3 \\ 18 & 2 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$4 (- 15 \cdot 2 - 18 \cdot - 3) - 15 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 \\ 5 & 2 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 2 & - 15 \\ 5 & 18 \end{array} |$

ステップ 5.2.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.2.1.1

$- 15$ に $2$ をかけます。

$4 (- 30 - 18 \cdot - 3) - 15 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 \\ 5 & 2 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 2 & - 15 \\ 5 & 18 \end{array} |$

ステップ 5.2.2.2.1.2

$- 18$ に $- 3$ をかけます。

$4 (- 30 + 54) - 15 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 \\ 5 & 2 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 2 & - 15 \\ 5 & 18 \end{array} |$

ステップ 5.2.2.2.2

$- 30$ と $54$ をたし算します。

$4 \cdot 24 - 15 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 \\ 5 & 2 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 2 & - 15 \\ 5 & 18 \end{array} |$

ステップ 5.2.3

$| \begin{array}{c} - 2 & - 3 \\ 5 & 2 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$4 \cdot 24 - 15 (- 2 \cdot 2 - 5 \cdot - 3) + 2 | \begin{array}{c} - 2 & - 15 \\ 5 & 18 \end{array} |$

ステップ 5.2.3.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.1.1

$- 2$ に $2$ をかけます。

$4 \cdot 24 - 15 (- 4 - 5 \cdot - 3) + 2 | \begin{array}{c} - 2 & - 15 \\ 5 & 18 \end{array} |$

ステップ 5.2.3.2.1.2

$- 5$ に $- 3$ をかけます。

$4 \cdot 24 - 15 (- 4 + 15) + 2 | \begin{array}{c} - 2 & - 15 \\ 5 & 18 \end{array} |$

ステップ 5.2.3.2.2

$- 4$ と $15$ をたし算します。

$4 \cdot 24 - 15 \cdot 11 + 2 | \begin{array}{c} - 2 & - 15 \\ 5 & 18 \end{array} |$

ステップ 5.2.4

$| \begin{array}{c} - 2 & - 15 \\ 5 & 18 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$4 \cdot 24 - 15 \cdot 11 + 2 (- 2 \cdot 18 - 5 \cdot - 15)$

ステップ 5.2.4.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.2.1.1

$- 2$ に $18$ をかけます。

$4 \cdot 24 - 15 \cdot 11 + 2 (- 36 - 5 \cdot - 15)$

ステップ 5.2.4.2.1.2

$- 5$ に $- 15$ をかけます。

$4 \cdot 24 - 15 \cdot 11 + 2 (- 36 + 75)$

ステップ 5.2.4.2.2

$- 36$ と $75$ をたし算します。

$4 \cdot 24 - 15 \cdot 11 + 2 \cdot 39$

ステップ 5.2.5

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.1.1

$4$ に $24$ をかけます。

$96 - 15 \cdot 11 + 2 \cdot 39$

ステップ 5.2.5.1.2

$- 15$ に $11$ をかけます。

$96 - 165 + 2 \cdot 39$

ステップ 5.2.5.1.3

$2$ に $39$ をかけます。

$96 - 165 + 78$

ステップ 5.2.5.2

$96$ から $165$ を引きます。

$- 69 + 78$

ステップ 5.2.5.3

$- 69$ と $78$ をたし算します。

$9$

$D_{y} = 9$

ステップ 5.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

ステップ 5.4

Substitute $- 9$ for $D$ and $9$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{9}{- 9}$

ステップ 5.5

$9$ を $- 9$ で割ります。

$y = - 1$

ステップ 6

Find the value of $z$ by Cramer's Rule, which states that $z = \frac{D_{z}}{D}$ .

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ステップ 6.1

Replace column $3$ of the coefficient matrix that corresponds to the $z$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 15 \\ - 15 \\ 18 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 4 & - 3 & 15 \\ - 2 & 1 & - 15 \\ 5 & - 5 & 18 \end{array} |$

ステップ 6.2

Find the determinant.

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ステップ 6.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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ステップ 6.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 6.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

ステップ 6.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 15 \\ - 5 & 18 \end{array} |$

ステップ 6.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$4 | \begin{array}{c} 1 & - 15 \\ - 5 & 18 \end{array} |$

ステップ 6.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & - 15 \\ 5 & 18 \end{array} |$

ステップ 6.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$3 | \begin{array}{c} - 2 & - 15 \\ 5 & 18 \end{array} |$

ステップ 6.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 5 & - 5 \end{array} |$

ステップ 6.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$15 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 5 & - 5 \end{array} |$

ステップ 6.2.1.9

Add the terms together.

$4 | \begin{array}{c} 1 & - 15 \\ - 5 & 18 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & - 15 \\ 5 & 18 \end{array} | + 15 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 5 & - 5 \end{array} |$

ステップ 6.2.2

$| \begin{array}{c} 1 & - 15 \\ - 5 & 18 \end{array} |$ の値を求めます。

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ステップ 6.2.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$4 (1 \cdot 18 - (- 5 \cdot - 15)) + 3 | \begin{array}{c} - 2 & - 15 \\ 5 & 18 \end{array} | + 15 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 5 & - 5 \end{array} |$

ステップ 6.2.2.2

行列式を簡約します。

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ステップ 6.2.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.2.1.1

$18$ に $1$ をかけます。

$4 (18 - (- 5 \cdot - 15)) + 3 | \begin{array}{c} - 2 & - 15 \\ 5 & 18 \end{array} | + 15 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 5 & - 5 \end{array} |$

ステップ 6.2.2.2.1.2

$- (- 5 \cdot - 15)$ を掛けます。

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ステップ 6.2.2.2.1.2.1

$- 5$ に $- 15$ をかけます。

$4 (18 - 1 \cdot 75) + 3 | \begin{array}{c} - 2 & - 15 \\ 5 & 18 \end{array} | + 15 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 5 & - 5 \end{array} |$

ステップ 6.2.2.2.1.2.2

$- 1$ に $75$ をかけます。

$4 (18 - 75) + 3 | \begin{array}{c} - 2 & - 15 \\ 5 & 18 \end{array} | + 15 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 5 & - 5 \end{array} |$

ステップ 6.2.2.2.2

$18$ から $75$ を引きます。

$4 \cdot - 57 + 3 | \begin{array}{c} - 2 & - 15 \\ 5 & 18 \end{array} | + 15 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 5 & - 5 \end{array} |$

ステップ 6.2.3

$| \begin{array}{c} - 2 & - 15 \\ 5 & 18 \end{array} |$ の値を求めます。

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ステップ 6.2.3.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$4 \cdot - 57 + 3 (- 2 \cdot 18 - 5 \cdot - 15) + 15 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 5 & - 5 \end{array} |$

ステップ 6.2.3.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.2.1.1

$- 2$ に $18$ をかけます。

$4 \cdot - 57 + 3 (- 36 - 5 \cdot - 15) + 15 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 5 & - 5 \end{array} |$

ステップ 6.2.3.2.1.2

$- 5$ に $- 15$ をかけます。

$4 \cdot - 57 + 3 (- 36 + 75) + 15 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 5 & - 5 \end{array} |$

ステップ 6.2.3.2.2

$- 36$ と $75$ をたし算します。

$4 \cdot - 57 + 3 \cdot 39 + 15 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 5 & - 5 \end{array} |$

ステップ 6.2.4

$| \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 5 & - 5 \end{array} |$ の値を求めます。

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ステップ 6.2.4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$4 \cdot - 57 + 3 \cdot 39 + 15 (- 2 \cdot - 5 - 5 \cdot 1)$

ステップ 6.2.4.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.4.2.1.1

$- 2$ に $- 5$ をかけます。

$4 \cdot - 57 + 3 \cdot 39 + 15 (10 - 5 \cdot 1)$

ステップ 6.2.4.2.1.2

$- 5$ に $1$ をかけます。

$4 \cdot - 57 + 3 \cdot 39 + 15 (10 - 5)$

ステップ 6.2.4.2.2

$10$ から $5$ を引きます。

$4 \cdot - 57 + 3 \cdot 39 + 15 \cdot 5$

ステップ 6.2.5

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.5.1.1

$4$ に $- 57$ をかけます。

$- 228 + 3 \cdot 39 + 15 \cdot 5$

ステップ 6.2.5.1.2

$3$ に $39$ をかけます。

$- 228 + 117 + 15 \cdot 5$

ステップ 6.2.5.1.3

$15$ に $5$ をかけます。

$- 228 + 117 + 75$

ステップ 6.2.5.2

$- 228$ と $117$ をたし算します。

$- 111 + 75$

ステップ 6.2.5.3

$- 111$ と $75$ をたし算します。

$- 36$

$D_{z} = - 36$

ステップ 6.3

Use the formula to solve for $z$ .

$z = \frac{D_{z}}{D}$

ステップ 6.4

Substitute $- 9$ for $D$ and $- 36$ for $D_{z}$ in the formula.

$z = \frac{- 36}{- 9}$

ステップ 6.5

$- 36$ を $- 9$ で割ります。

$z = 4$

ステップ 7

連立方程式の解を記載します。

$x = 1$

$y = - 1$

$z = 4$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例