微分積分学準備例

$\cos (x) > 0$ , $\sec (x) > 0$

ステップ 1

1番目の不等式を簡約します。

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ステップ 1.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x > \arccos (0)$ と $\sec (x) > 0$

ステップ 1.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.1

$\arccos (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$x > \frac{π}{2}$ と $\sec (x) > 0$

ステップ 1.3

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$ と $\sec (x) > 0$

ステップ 1.4

$2 π - \frac{π}{2}$ を簡約します。

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ステップ 1.4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$ と $\sec (x) > 0$

ステップ 1.4.2

分数をまとめます。

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ステップ 1.4.2.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$ と $\sec (x) > 0$

ステップ 1.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$ と $\sec (x) > 0$

ステップ 1.4.3

分子を簡約します。

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ステップ 1.4.3.1

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{4 π - π}{2}$ と $\sec (x) > 0$

ステップ 1.4.3.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{3 π}{2}$ と $\sec (x) > 0$

ステップ 1.5

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 1.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 1.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 1.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 1.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 1.6

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ と $\sec (x) > 0$

ステップ 1.7

答えをまとめます。

$x = \frac{π}{2} + π n$ と $\sec (x) > 0$

ステップ 1.8

各根を利用して検定区間を作成します。

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ と $\sec (x) > 0$

ステップ 1.9

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 1.9.1

区間 $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 1.9.1.1

区間 $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 3$ と $\sec (x) > 0$

ステップ 1.9.1.2

$x$ を元の不等式の $3$ で置き換えます。

$\cos (3) > 0$ と $\sec (x) > 0$

ステップ 1.9.1.3

左辺 $- 0.98999249$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽と $\sec (x) > 0$

ステップ 1.9.2

区間 $\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 1.9.2.1

区間 $\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$ と $\sec (x) > 0$

ステップ 1.9.2.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

$\cos (6) > 0$ と $\sec (x) > 0$

ステップ 1.9.2.3

左辺 $0.96017028$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真と $\sec (x) > 0$

ステップ 1.9.3

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ 偽

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ True and $\sec (x) > 0$

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ 偽

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ True and $\sec (x) > 0$

ステップ 1.10

解はすべての真の区間からなります。

$\frac{3 π}{2} + 2 π n < x < \frac{5 π}{2} + 2 π n$ と $\sec (x) > 0$

ステップ 2

割線の値域は $y \leq - 1$ と $y \geq 1$ です。 $0$ がこの値域にないので、解はありません。

解がありません

微分積分学準備 例

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