微分積分学準備例

$y^{2} - 2 y - x = 2$

ステップ 1

方程式を頂点形で書き換えます。

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ステップ 1.1

方程式の左辺に $x$ を取り出します。

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ステップ 1.1.1

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 1.1.1.1

方程式の両辺から $y^{2}$ を引きます。

$- 2 y - x = 2 - y^{2}$

ステップ 1.1.1.2

方程式の両辺に $2 y$ を足します。

$- x = 2 - y^{2} + 2 y$

ステップ 1.1.2

$- x = 2 - y^{2} + 2 y$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.2.1

$- x = 2 - y^{2} + 2 y$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{2}{- 1} + \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{2 y}{- 1}$

ステップ 1.1.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{2}{- 1} + \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{2 y}{- 1}$

ステップ 1.1.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{2}{- 1} + \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{2 y}{- 1}$

ステップ 1.1.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1.1

$2$ を $- 1$ で割ります。

$x = - 2 + \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{2 y}{- 1}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

2つの負の値を割ると正の値になります。

$x = - 2 + \frac{y^{2}}{1} + \frac{2 y}{- 1}$

ステップ 1.1.2.3.1.3

$y^{2}$ を $1$ で割ります。

$x = - 2 + y^{2} + \frac{2 y}{- 1}$

ステップ 1.1.2.3.1.4

$\frac{2 y}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$x = - 2 + y^{2} - 1 \cdot (2 y)$

ステップ 1.1.2.3.1.5

$- 1 \cdot (2 y)$ を $- (2 y)$ に書き換えます。

$x = - 2 + y^{2} - (2 y)$

ステップ 1.1.2.3.1.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x = - 2 + y^{2} - 2 y$

ステップ 1.2

$- 2 + y^{2} - 2 y$ の平方完成。

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ステップ 1.2.1

$- 2$ を移動させます。

$y^{2} - 2 y - 2$

ステップ 1.2.2

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 1$

$b = - 2$

$c = - 2$

ステップ 1.2.3

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.2.4

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.4.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.4.2

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.4.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.4.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.4.2.2.1

$2$ を $2 \cdot 1$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

ステップ 1.2.4.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.4.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 1}{1}$

ステップ 1.2.4.2.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$d = - 1$

ステップ 1.2.5

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.5.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = - 2 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.2.5.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.5.2.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$e = - 2 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.2.5.2.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$e = - 2 - \frac{4}{4}$

ステップ 1.2.5.2.1.3

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.5.2.1.3.1

共通因数を約分します。

$e = - 2 - \frac{4}{4}$

ステップ 1.2.5.2.1.3.2

式を書き換えます。

$e = - 2 - 1 \cdot 1$

ステップ 1.2.5.2.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$e = - 2 - 1$

ステップ 1.2.5.2.2

$- 2$ から $1$ を引きます。

$e = - 3$

ステップ 1.2.6

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 ${(y - 1)}^{2} - 3$ に代入します。

${(y - 1)}^{2} - 3$

ステップ 1.3

$x$ は新しい右辺と等しいとします。

$x = {(y - 1)}^{2} - 3$

ステップ 2

頂点形、 $x = a {(y - k)}^{2} + h$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = 1$

$h = - 3$

$k = 1$

ステップ 3

$a$ の値が正なので、放物線は右に開です。

右に開く

ステップ 4

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(- 3, 1)$

ステップ 5

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 5.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

ステップ 5.3

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

ステップ 5.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{4}$

ステップ 6

焦点を求めます。

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ステップ 6.1

放物線の焦点は、放物線が左右に開の場合、 $p$ をx座標 $h$ に加えて求められます。

$(h + p, k)$

ステップ 6.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- \frac{11}{4}, 1)$

ステップ 7

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

$y = 1$

ステップ 8

準線を求めます。

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ステップ 8.1

放物線の準線は、放物線が左右に開の場合、頂点のx座標 $h$ から $p$ を引いて求められる垂直線です。

$x = h - p$

ステップ 8.2

$p$ と $h$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$x = - \frac{13}{4}$

ステップ 9

放物線の性質を利用して放物線を分析しグラフに描きます。

方向：右に開

頂点： $(- 3, 1)$

焦点： $(- \frac{11}{4}, 1)$

対称軸： $y = 1$

準線： $x = - \frac{13}{4}$

ステップ 10

微分積分学準備 例

微分積分学準備例