微分積分学準備例

$12 y + x^{2} - 4 x = - 16$

ステップ 1

方程式を頂点形で書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式の左辺に $y$ を取り出します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

方程式の両辺から $x^{2}$ を引きます。

$12 y - 4 x = - 16 - x^{2}$

ステップ 1.1.1.2

方程式の両辺に $4 x$ を足します。

$12 y = - 16 - x^{2} + 4 x$

ステップ 1.1.2

$12 y = - 16 - x^{2} + 4 x$ の各項を $12$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$12 y = - 16 - x^{2} + 4 x$ の各項を $12$ で割ります。

$\frac{12 y}{12} = \frac{- 16}{12} + \frac{- x^{2}}{12} + \frac{4 x}{12}$

ステップ 1.1.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1

$12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{12 y}{12} = \frac{- 16}{12} + \frac{- x^{2}}{12} + \frac{4 x}{12}$

ステップ 1.1.2.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{- 16}{12} + \frac{- x^{2}}{12} + \frac{4 x}{12}$

ステップ 1.1.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.1

$- 16$ と $12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.1.1

$4$ を $- 16$ で因数分解します。

$y = \frac{4 (- 4)}{12} + \frac{- x^{2}}{12} + \frac{4 x}{12}$

ステップ 1.1.2.3.1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.1.2.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$y = \frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 3} + \frac{- x^{2}}{12} + \frac{4 x}{12}$

ステップ 1.1.2.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 3} + \frac{- x^{2}}{12} + \frac{4 x}{12}$

ステップ 1.1.2.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{- 4}{3} + \frac{- x^{2}}{12} + \frac{4 x}{12}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{4}{3} + \frac{- x^{2}}{12} + \frac{4 x}{12}$

ステップ 1.1.2.3.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{4}{3} - \frac{x^{2}}{12} + \frac{4 x}{12}$

ステップ 1.1.2.3.1.4

$4$ と $12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.4.1

$4$ を $4 x$ で因数分解します。

$y = - \frac{4}{3} - \frac{x^{2}}{12} + \frac{4 (x)}{12}$

ステップ 1.1.2.3.1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.4.2.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$y = - \frac{4}{3} - \frac{x^{2}}{12} + \frac{4 x}{4 \cdot 3}$

ステップ 1.1.2.3.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$y = - \frac{4}{3} - \frac{x^{2}}{12} + \frac{4 x}{4 \cdot 3}$

ステップ 1.1.2.3.1.4.2.3

式を書き換えます。

$y = - \frac{4}{3} - \frac{x^{2}}{12} + \frac{x}{3}$

ステップ 1.2

$- \frac{4}{3} - \frac{x^{2}}{12} + \frac{x}{3}$ の平方完成。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$- \frac{4}{3}$ を移動させます。

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{x}{3} - \frac{4}{3}$

ステップ 1.2.2

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = - \frac{1}{12}$

$b = \frac{1}{3}$

$c = - \frac{4}{3}$

ステップ 1.2.3

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.2.4

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{\frac{1}{3}}{2 (- \frac{1}{12})}$

ステップ 1.2.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$d = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{12})}$

ステップ 1.2.4.2.2

$1$ と $- 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.2.1

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$d = \frac{1}{3} \cdot \frac{- 1 (- 1)}{2 (- \frac{1}{12})}$

ステップ 1.2.4.2.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$d = \frac{1}{3} (- \frac{1}{2 (\frac{1}{12})})$

ステップ 1.2.4.2.3

$2$ と $\frac{1}{12}$ をまとめます。

$d = \frac{1}{3} (- \frac{1}{\frac{2}{12}})$

ステップ 1.2.4.2.4

$2$ と $12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.4.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$d = \frac{1}{3} (- \frac{1}{\frac{2 (1)}{12}})$

ステップ 1.2.4.2.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.4.2.1

$2$ を $12$ で因数分解します。

$d = \frac{1}{3} (- \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}})$

ステップ 1.2.4.2.4.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{1}{3} (- \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}})$

ステップ 1.2.4.2.4.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{1}{3} (- \frac{1}{\frac{1}{6}})$

ステップ 1.2.4.2.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$d = \frac{1}{3} (- (1 \cdot 6))$

ステップ 1.2.4.2.6

$- (1 \cdot 6)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.6.1

$6$ に $1$ をかけます。

$d = \frac{1}{3} (- 1 \cdot 6)$

ステップ 1.2.4.2.6.2

$- 1$ に $6$ をかけます。

$d = \frac{1}{3} \cdot - 6$

ステップ 1.2.4.2.7

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.7.1

$3$ を $- 6$ で因数分解します。

$d = \frac{1}{3} \cdot (3 (- 2))$

ステップ 1.2.4.2.7.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 2)$

ステップ 1.2.4.2.7.3

式を書き換えます。

$d = - 2$

ステップ 1.2.5

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.5.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = - \frac{4}{3} - \frac{{(\frac{1}{3})}^{2}}{4 (- \frac{1}{12})}$

ステップ 1.2.5.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.1.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.1.1.1

積の法則を $\frac{1}{3}$ に当てはめます。

$e = - \frac{4}{3} - \frac{\frac{1^{2}}{3^{2}}}{4 (- \frac{1}{12})}$

ステップ 1.2.5.2.1.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$e = - \frac{4}{3} - \frac{\frac{1}{3^{2}}}{4 (- \frac{1}{12})}$

ステップ 1.2.5.2.1.1.3

$3$ を $2$ 乗します。

$e = - \frac{4}{3} - \frac{\frac{1}{9}}{4 (- \frac{1}{12})}$

ステップ 1.2.5.2.1.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.1.2.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$e = - \frac{4}{3} - \frac{\frac{1}{9}}{- 4 (\frac{1}{12})}$

ステップ 1.2.5.2.1.2.2

$- 4$ と $\frac{1}{12}$ をまとめます。

$e = - \frac{4}{3} - \frac{\frac{1}{9}}{\frac{- 4}{12}}$

ステップ 1.2.5.2.1.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.1.3.1

$- 4$ と $12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.1.3.1.1

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$e = - \frac{4}{3} - \frac{\frac{1}{9}}{\frac{4 (- 1)}{12}}$

ステップ 1.2.5.2.1.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.1.3.1.2.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$e = - \frac{4}{3} - \frac{\frac{1}{9}}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 3}}$

ステップ 1.2.5.2.1.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$e = - \frac{4}{3} - \frac{\frac{1}{9}}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 3}}$

ステップ 1.2.5.2.1.3.1.2.3

式を書き換えます。

$e = - \frac{4}{3} - \frac{\frac{1}{9}}{\frac{- 1}{3}}$

ステップ 1.2.5.2.1.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$e = - \frac{4}{3} - \frac{\frac{1}{9}}{- \frac{1}{3}}$

ステップ 1.2.5.2.1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$e = - \frac{4}{3} - (\frac{1}{9} (- 1 \cdot 3))$

ステップ 1.2.5.2.1.5

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.1.5.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$e = - \frac{4}{3} - (\frac{1}{3 (3)} (- 1 \cdot 3))$

ステップ 1.2.5.2.1.5.2

$3$ を $- 1 \cdot 3$ で因数分解します。

$e = - \frac{4}{3} - (\frac{1}{3 (3)} (3 \cdot - 1))$

ステップ 1.2.5.2.1.5.3

共通因数を約分します。

$e = - \frac{4}{3} - (\frac{1}{3 \cdot 3} (3 \cdot - 1))$

ステップ 1.2.5.2.1.5.4

式を書き換えます。

$e = - \frac{4}{3} - (\frac{1}{3} \cdot - 1)$

ステップ 1.2.5.2.1.6

$\frac{1}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$e = - \frac{4}{3} - \frac{- 1}{3}$

ステップ 1.2.5.2.1.7

分数の前に負数を移動させます。

$e = - \frac{4}{3} - - \frac{1}{3}$

ステップ 1.2.5.2.1.8

$- - \frac{1}{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.1.8.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e = - \frac{4}{3} + 1 (\frac{1}{3})$

ステップ 1.2.5.2.1.8.2

$\frac{1}{3}$ に $1$ をかけます。

$e = - \frac{4}{3} + \frac{1}{3}$

ステップ 1.2.5.2.2

公分母の分子をまとめます。

$e = \frac{- 4 + 1}{3}$

ステップ 1.2.5.2.3

$- 4$ と $1$ をたし算します。

$e = \frac{- 3}{3}$

ステップ 1.2.5.2.4

$- 3$ を $3$ で割ります。

$e = - 1$

ステップ 1.2.6

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $- \frac{1}{12} {(x - 2)}^{2} - 1$ に代入します。

$- \frac{1}{12} {(x - 2)}^{2} - 1$

ステップ 1.3

$y$ は新しい右辺と等しいとします。

$y = - \frac{1}{12} \cdot {(x - 2)}^{2} - 1$

ステップ 2

頂点形、 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = - \frac{1}{12}$

$h = 2$

$k = - 1$

ステップ 3

$a$ の値が負なので、放物線は下に開です。

下に開く

ステップ 4

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(2, - 1)$

ステップ 5

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 5.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{12})}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

$1$ と $- 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{12})}$

ステップ 5.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{12})}$

ステップ 5.3.2

$4$ と $\frac{1}{12}$ をまとめます。

$- \frac{1}{\frac{4}{12}}$

ステップ 5.3.3

$4$ と $12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$- \frac{1}{\frac{4 (1)}{12}}$

ステップ 5.3.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

ステップ 5.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

ステップ 5.3.3.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{1}{\frac{1}{3}}$

ステップ 5.3.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$- (1 \cdot 3)$

ステップ 5.3.5

$- (1 \cdot 3)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.1

$3$ に $1$ をかけます。

$- 1 \cdot 3$

ステップ 5.3.5.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- 3$

ステップ 6

焦点を求めます。

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ステップ 6.1

放物線の焦点は、放物線が上下に開の場合、 $p$ をy座標 $k$ に加えて求められます。

$(h, k + p)$

ステップ 6.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(2, - 4)$

ステップ 7

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

$x = 2$

ステップ 8

準線を求めます。

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ステップ 8.1

放物線の準線は、放物線が上下に開の場合、頂点のy座標 $k$ から $p$ を引いて求められる水平線です。

$y = k - p$

ステップ 8.2

$p$ と $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$y = 2$

ステップ 9

放物線の性質を利用して放物線を分析しグラフに描きます。

方向：下に開

頂点： $(2, - 1)$

焦点： $(2, - 4)$

対称軸： $x = 2$

準線： $y = 2$

ステップ 10

微分積分学準備 例

微分積分学準備例