微分積分学準備例

$4 x^{2} + 9 y^{2} = 1$

ステップ 1

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{x^{2}}{\frac{1}{4}} + \frac{y^{2}}{\frac{1}{9}} = 1$

ステップ 2

楕円の形です。この形を利用して、楕円の長軸と短軸、および中心を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

ステップ 3

この楕円の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $a$ は楕円の長軸の半径を、 $b$ は楕円の短軸の半径を、 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点からのy補正値を表します。

$a = \frac{1}{2}$

$b = \frac{1}{3}$

$k = 0$

$h = 0$

ステップ 4

楕円の中心は $(h, k)$ の形に従います。 $h$ と $k$ の値に代入します。

$(0, 0)$

ステップ 5

中心から焦点までの距離 $c$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して楕円の中心から焦点までの距離を求めます。

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

ステップ 5.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - {(\frac{1}{3})}^{2}}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$\sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} - {(\frac{1}{3})}^{2}}$

ステップ 5.3.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\sqrt{\frac{1}{2^{2}} - {(\frac{1}{3})}^{2}}$

ステップ 5.3.3

$2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{1}{4} - {(\frac{1}{3})}^{2}}$

ステップ 5.3.4

積の法則を $\frac{1}{3}$ に当てはめます。

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1^{2}}{3^{2}}}$

ステップ 5.3.5

1のすべての数の累乗は1です。

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1}{3^{2}}}$

ステップ 5.3.6

$3$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1}{9}}$

ステップ 5.3.7

$\frac{1}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{9}{9}$ を掛けます。

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{9}}$

ステップ 5.3.8

$- \frac{1}{9}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

ステップ 5.3.9

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $36$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 5.3.9.1

$\frac{1}{4}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

$\sqrt{\frac{9}{4 \cdot 9} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

ステップ 5.3.9.2

$4$ に $9$ をかけます。

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

ステップ 5.3.9.3

$\frac{1}{9}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{4}{9 \cdot 4}}$

ステップ 5.3.9.4

$9$ に $4$ をかけます。

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{4}{36}}$

ステップ 5.3.10

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{9 - 4}{36}}$

ステップ 5.3.11

$9$ から $4$ を引きます。

$\sqrt{\frac{5}{36}}$

ステップ 5.3.12

$\sqrt{\frac{5}{36}}$ を $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{36}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{36}}$

ステップ 5.3.13

分母を簡約します。

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ステップ 5.3.13.1

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6^{2}}}$

ステップ 5.3.13.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{\sqrt{5}}{6}$

ステップ 6

対頂点を求めます。

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ステップ 6.1

楕円の1番目の頂点は、 $a$ を $h$ に加えることで求められます。

$(h + a, k)$

ステップ 6.2

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0 + \frac{1}{2}, 0)$

ステップ 6.3

簡約します。

$(\frac{1}{2}, 0)$

ステップ 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

ステップ 6.5

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0 - (\frac{1}{2}), 0)$

ステップ 6.6

簡約します。

$(- \frac{1}{2}, 0)$

ステップ 6.7

楕円には2つの頂点があります。

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{1}{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{1}{2}, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{1}{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{1}{2}, 0)$

ステップ 7

焦点を求めます。

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ステップ 7.1

楕円の1番目の焦点は、 $c$ を $h$ に加えることで求められます。

$(h + c, k)$

ステップ 7.2

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0 + \frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

ステップ 7.3

簡約します。

$(\frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

ステップ 7.4

楕円の2番目の焦点は、 $h$ から $c$ を引くことで求められます。

$(h - c, k)$

ステップ 7.5

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0 - (\frac{\sqrt{5}}{6}), 0)$

ステップ 7.6

簡約します。

$(- \frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

ステップ 7.7

楕円には2つの焦点があります。

${Focus}_{1}$ : $(\frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

ステップ 8

離心率を求めます。

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ステップ 8.1

次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

ステップ 8.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - {(\frac{1}{3})}^{2}}}{\frac{1}{2}}$

ステップ 8.3

簡約します。

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ステップ 8.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

ステップ 8.3.2

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$\sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} - {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

ステップ 8.3.3

1のすべての数の累乗は1です。

$\sqrt{\frac{1}{2^{2}} - {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

ステップ 8.3.4

$2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{1}{4} - {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

ステップ 8.3.5

積の法則を $\frac{1}{3}$ に当てはめます。

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1^{2}}{3^{2}}} \cdot 2$

ステップ 8.3.6

1のすべての数の累乗は1です。

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1}{3^{2}}} \cdot 2$

ステップ 8.3.7

$3$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1}{9}} \cdot 2$

ステップ 8.3.8

$\frac{1}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{9}{9}$ を掛けます。

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{9}} \cdot 2$

ステップ 8.3.9

$- \frac{1}{9}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}} \cdot 2$

ステップ 8.3.10

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $36$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 8.3.10.1

$\frac{1}{4}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

$\sqrt{\frac{9}{4 \cdot 9} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}} \cdot 2$

ステップ 8.3.10.2

$4$ に $9$ をかけます。

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}} \cdot 2$

ステップ 8.3.10.3

$\frac{1}{9}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{4}{9 \cdot 4}} \cdot 2$

ステップ 8.3.10.4

$9$ に $4$ をかけます。

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{4}{36}} \cdot 2$

ステップ 8.3.11

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{9 - 4}{36}} \cdot 2$

ステップ 8.3.12

$9$ から $4$ を引きます。

$\sqrt{\frac{5}{36}} \cdot 2$

ステップ 8.3.13

$\sqrt{\frac{5}{36}}$ を $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{36}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{36}} \cdot 2$

ステップ 8.3.14

分母を簡約します。

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ステップ 8.3.14.1

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6^{2}}} \cdot 2$

ステップ 8.3.14.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{\sqrt{5}}{6} \cdot 2$

ステップ 8.3.15

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.15.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{5}}{2 (3)} \cdot 2$

ステップ 8.3.15.2

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{5}}{2 \cdot 3} \cdot 2$

ステップ 8.3.15.3

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

ステップ 9

これらの値は楕円をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{1}{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{1}{2}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

偏心： $\frac{\sqrt{5}}{3}$

ステップ 10

微分積分学準備 例

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