微分積分学準備例

$9 x^{2} + 4 y^{2} - 72 x + 16 y + 124 = 0$

ステップ 1

楕円の標準形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式の両辺から $124$ を引きます。

$9 x^{2} + 4 y^{2} - 72 x + 16 y = - 124$

ステップ 1.2

$9 x^{2} - 72 x$ の平方完成。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 9$

$b = - 72$

$c = 0$

ステップ 1.2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 72}{2 \cdot 9}$

ステップ 1.2.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1

$- 72$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1.1

$2$ を $- 72$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 36}{2 \cdot 9}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot 9$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 36}{2 (9)}$

ステップ 1.2.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot - 36}{2 \cdot 9}$

ステップ 1.2.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 36}{9}$

ステップ 1.2.3.2.2

$- 36$ と $9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.2.1

$9$ を $- 36$ で因数分解します。

$d = \frac{9 \cdot - 4}{9}$

ステップ 1.2.3.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.2.2.1

$9$ を $9$ で因数分解します。

$d = \frac{9 \cdot - 4}{9 (1)}$

ステップ 1.2.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{9 \cdot - 4}{9 \cdot 1}$

ステップ 1.2.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 4}{1}$

ステップ 1.2.3.2.2.2.4

$- 4$ を $1$ で割ります。

$d = - 4$

ステップ 1.2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- 72)}^{2}}{4 \cdot 9}$

ステップ 1.2.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1.1

$- 72$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{5184}{4 \cdot 9}$

ステップ 1.2.4.2.1.2

$4$ に $9$ をかけます。

$e = 0 - \frac{5184}{36}$

ステップ 1.2.4.2.1.3

$5184$ を $36$ で割ります。

$e = 0 - 1 \cdot 144$

ステップ 1.2.4.2.1.4

$- 1$ に $144$ をかけます。

$e = 0 - 144$

ステップ 1.2.4.2.2

$0$ から $144$ を引きます。

$e = - 144$

ステップ 1.2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $9 {(x - 4)}^{2} - 144$ に代入します。

$9 {(x - 4)}^{2} - 144$

ステップ 1.3

$9 {(x - 4)}^{2} - 144$ を方程式 $9 x^{2} + 4 y^{2} - 72 x + 16 y = - 124$ の中の $9 x^{2} - 72 x$ に代入します。

$9 {(x - 4)}^{2} - 144 + 4 y^{2} + 16 y = - 124$

ステップ 1.4

両辺に $144$ を加えて、 $- 144$ を方程式の右辺に移動させます。

$9 {(x - 4)}^{2} + 4 y^{2} + 16 y = - 124 + 144$

ステップ 1.5

$4 y^{2} + 16 y$ の平方完成。

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ステップ 1.5.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 4$

$b = 16$

$c = 0$

ステップ 1.5.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.5.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.5.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{16}{2 \cdot 4}$

ステップ 1.5.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1

$16$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1.1

$2$ を $16$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 4}$

ステップ 1.5.3.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot 4$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 (4)}$

ステップ 1.5.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 4}$

ステップ 1.5.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{8}{4}$

ステップ 1.5.3.2.2

$8$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.2.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$d = \frac{4 \cdot 2}{4}$

ステップ 1.5.3.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.2.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$d = \frac{4 \cdot 2}{4 (1)}$

ステップ 1.5.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.5.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{2}{1}$

ステップ 1.5.3.2.2.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$d = 2$

ステップ 1.5.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.5.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{16^{2}}{4 \cdot 4}$

ステップ 1.5.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.1.1

$16$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{256}{4 \cdot 4}$

ステップ 1.5.4.2.1.2

$4$ に $4$ をかけます。

$e = 0 - \frac{256}{16}$

ステップ 1.5.4.2.1.3

$256$ を $16$ で割ります。

$e = 0 - 1 \cdot 16$

ステップ 1.5.4.2.1.4

$- 1$ に $16$ をかけます。

$e = 0 - 16$

ステップ 1.5.4.2.2

$0$ から $16$ を引きます。

$e = - 16$

ステップ 1.5.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $4 {(y + 2)}^{2} - 16$ に代入します。

$4 {(y + 2)}^{2} - 16$

ステップ 1.6

$4 {(y + 2)}^{2} - 16$ を方程式 $9 x^{2} + 4 y^{2} - 72 x + 16 y = - 124$ の中の $4 y^{2} + 16 y$ に代入します。

$9 {(x - 4)}^{2} + 4 {(y + 2)}^{2} - 16 = - 124 + 144$

ステップ 1.7

両辺に $16$ を加えて、 $- 16$ を方程式の右辺に移動させます。

$9 {(x - 4)}^{2} + 4 {(y + 2)}^{2} = - 124 + 144 + 16$

ステップ 1.8

$- 124 + 144 + 16$ を簡約します。

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ステップ 1.8.1

$- 124$ と $144$ をたし算します。

$9 {(x - 4)}^{2} + 4 {(y + 2)}^{2} = 20 + 16$

ステップ 1.8.2

$20$ と $16$ をたし算します。

$9 {(x - 4)}^{2} + 4 {(y + 2)}^{2} = 36$

ステップ 1.9

各項を $36$ で割り、右辺を1と等しくします。

$\frac{9 {(x - 4)}^{2}}{36} + \frac{4 {(y + 2)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

ステップ 1.10

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{{(x - 4)}^{2}}{4} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{9} = 1$

ステップ 2

楕円の形です。この形を利用して、楕円の長軸と短軸、および中心を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

ステップ 3

この楕円の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $a$ は楕円の長軸の半径を、 $b$ は楕円の短軸の半径を、 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点からのy補正値を表します。

$a = 3$

$b = 2$

$k = - 2$

$h = 4$

ステップ 4

楕円の中心は $(h, k)$ の形に従います。 $h$ と $k$ の値に代入します。

$(4, - 2)$

ステップ 5

中心から焦点までの距離 $c$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して楕円の中心から焦点までの距離を求めます。

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

ステップ 5.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\sqrt{{(3)}^{2} - {(2)}^{2}}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

$3$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{9 - {(2)}^{2}}$

ステップ 5.3.2

$2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{9 - 1 \cdot 4}$

ステップ 5.3.3

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\sqrt{9 - 4}$

ステップ 5.3.4

$9$ から $4$ を引きます。

$\sqrt{5}$

ステップ 6

対頂点を求めます。

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ステップ 6.1

楕円の1番目の頂点は、 $a$ を $k$ に加えることで求められます。

$(h, k + a)$

ステップ 6.2

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(4, - 2 + 3)$

ステップ 6.3

簡約します。

$(4, 1)$

ステップ 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

ステップ 6.5

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(4, - 2 - (3))$

ステップ 6.6

簡約します。

$(4, - 5)$

ステップ 6.7

楕円には2つの頂点があります。

${Vertex}_{1}$ : $(4, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(4, - 5)$

${Vertex}_{1}$ : $(4, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(4, - 5)$

ステップ 7

焦点を求めます。

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ステップ 7.1

楕円の1番目の焦点は、 $c$ を $k$ に加えることで求められます。

$(h, k + c)$

ステップ 7.2

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(4, - 2 + \sqrt{5})$

ステップ 7.3

楕円の1番目の焦点は、 $k$ から $c$ を引くことで求められます。

$(h, k - c)$

ステップ 7.4

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(4, - 2 - (\sqrt{5}))$

ステップ 7.5

簡約します。

$(4, - 2 - \sqrt{5})$

ステップ 7.6

楕円には2つの焦点があります。

${Focus}_{1}$ : $(4, - 2 + \sqrt{5})$

${Focus}_{2}$ : $(4, - 2 - \sqrt{5})$

${Focus}_{1}$ : $(4, - 2 + \sqrt{5})$

${Focus}_{2}$ : $(4, - 2 - \sqrt{5})$

ステップ 8

離心率を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

ステップ 8.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} - {(2)}^{2}}}{3}$

ステップ 8.3

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.1

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{9 - 2^{2}}}{3}$

ステップ 8.3.2

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{9 - 1 \cdot 4}}{3}$

ステップ 8.3.3

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{\sqrt{9 - 4}}{3}$

ステップ 8.3.4

$9$ から $4$ を引きます。

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

ステップ 9

これらの値は楕円をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(4, - 2)$

${Vertex}_{1}$ : $(4, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(4, - 5)$

${Focus}_{1}$ : $(4, - 2 + \sqrt{5})$

${Focus}_{2}$ : $(4, - 2 - \sqrt{5})$

偏心： $\frac{\sqrt{5}}{3}$

ステップ 10

微分積分学準備 例

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