微分積分学準備例

$x^{2} - y^{2} - 2 x - 8 = 0$

ステップ 1

双曲線の標準形を求めます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺に $8$ を足します。

$x^{2} - y^{2} - 2 x = 8$

ステップ 1.2

$x^{2} - 2 x$ の平方完成。

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ステップ 1.2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 1$

$b = - 2$

$c = 0$

ステップ 1.2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.3.2

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.3.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.2.1

$2$ を $2 \cdot 1$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

ステップ 1.2.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.3.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 1}{1}$

ステップ 1.2.3.2.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$d = - 1$

ステップ 1.2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.2.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.2.4.2.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$e = 0 - \frac{4}{4}$

ステップ 1.2.4.2.1.3

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.4.2.1.3.1

共通因数を約分します。

$e = 0 - \frac{4}{4}$

ステップ 1.2.4.2.1.3.2

式を書き換えます。

$e = 0 - 1 \cdot 1$

ステップ 1.2.4.2.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$e = 0 - 1$

ステップ 1.2.4.2.2

$0$ から $1$ を引きます。

$e = - 1$

ステップ 1.2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 ${(x - 1)}^{2} - 1$ に代入します。

${(x - 1)}^{2} - 1$

ステップ 1.3

${(x - 1)}^{2} - 1$ を方程式 $x^{2} - y^{2} - 2 x = 8$ の中の $x^{2} - 2 x$ に代入します。

${(x - 1)}^{2} - 1 - y^{2} = 8$

ステップ 1.4

両辺に $1$ を加えて、 $- 1$ を方程式の右辺に移動させます。

${(x - 1)}^{2} - y^{2} = 8 + 1$

ステップ 1.5

$8$ と $1$ をたし算します。

${(x - 1)}^{2} - y^{2} = 9$

ステップ 1.6

各項を $9$ で割り、右辺を1と等しくします。

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{9} = \frac{9}{9}$

ステップ 1.7

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

ステップ 2

双曲線の形です。この形を利用して、双曲線の頂点と漸近線を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

ステップ 3

この双曲線の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点 $a$ からのy補正値を表します。

$a = 3$

$b = 3$

$k = 0$

$h = 1$

ステップ 4

双曲線の中心は $(h, k)$ の形に従います。 $h$ と $k$ の値に代入します。

$(1, 0)$

ステップ 5

中心から焦点までの距離 $c$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して双曲線の中心から焦点までの距離を求めます。

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 5.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\sqrt{{(3)}^{2} + {(3)}^{2}}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

$3$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{9 + {(3)}^{2}}$

ステップ 5.3.2

$3$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{9 + 9}$

ステップ 5.3.3

$9$ と $9$ をたし算します。

$\sqrt{18}$

ステップ 5.3.4

$18$ を $3^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

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ステップ 5.3.4.1

$9$ を $18$ で因数分解します。

$\sqrt{9 (2)}$

ステップ 5.3.4.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{3^{2} \cdot 2}$

ステップ 5.3.5

累乗根の下から項を取り出します。

$3 \sqrt{2}$

ステップ 6

対頂点を求めます。

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ステップ 6.1

双曲線の1番目の頂点は、 $a$ を $h$ に加えることで求められます。

$(h + a, k)$

ステップ 6.2

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(4, 0)$

ステップ 6.3

双曲線の2番目の頂点は、 $h$ から $a$ を引くことで求められます。

$(h - a, k)$

ステップ 6.4

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- 2, 0)$

ステップ 6.5

双曲線の交点は $(h \pm a, k)$ の形をとります。双曲線は2つの頂点をもちます。

$(4, 0), (- 2, 0)$

ステップ 7

焦点を求めます。

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ステップ 7.1

双曲線の1番目の焦点は、 $c$ を $h$ に加えることで求められます。

$(h + c, k)$

ステップ 7.2

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(1 + 3 \sqrt{2}, 0)$

ステップ 7.3

双曲線の2番目の焦点は、 $h$ から $c$ を引くことで求められます。

$(h - c, k)$

ステップ 7.4

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(1 - 3 \sqrt{2}, 0)$

ステップ 7.5

双曲線の焦点は $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ の形をとります。双曲線は2つの焦点をもちます。

$(1 + 3 \sqrt{2}, 0), (1 - 3 \sqrt{2}, 0)$

ステップ 8

離心率を求めます。

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ステップ 8.1

次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

ステップ 8.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} + {(3)}^{2}}}{3}$

ステップ 8.3

簡約します。

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ステップ 8.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{9 + 3^{2}}}{3}$

ステップ 8.3.1.2

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{9 + 9}}{3}$

ステップ 8.3.1.3

$9$ と $9$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{18}}{3}$

ステップ 8.3.1.4

$18$ を $3^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

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ステップ 8.3.1.4.1

$9$ を $18$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{9 (2)}}{3}$

ステップ 8.3.1.4.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 2}}{3}$

ステップ 8.3.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{3 \sqrt{2}}{3}$

ステップ 8.3.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 \sqrt{2}}{3}$

ステップ 8.3.2.2

$\sqrt{2}$ を $1$ で割ります。

$\sqrt{2}$

ステップ 9

焦点パラメーターを求めます。

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ステップ 9.1

次の公式を利用して双曲線の焦点パラメータの値を求めます。

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

ステップ 9.2

$b$ と $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ の値を公式に代入します。

$\frac{3^{2}}{3 \sqrt{2}}$

ステップ 9.3

簡約します。

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ステップ 9.3.1

$3^{2}$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.1.1

$3$ を $3^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 3}{3 \sqrt{2}}$

ステップ 9.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.1.2.1

$3$ を $3 \sqrt{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 3}{3 (\sqrt{2})}$

ステップ 9.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot 3}{3 \sqrt{2}}$

ステップ 9.3.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3}{\sqrt{2}}$

ステップ 9.3.2

$\frac{3}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 9.3.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 9.3.3.1

$\frac{3}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 9.3.3.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ステップ 9.3.3.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

ステップ 9.3.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 9.3.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 9.3.3.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 9.3.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{3 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 9.3.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 9.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 9.3.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 9.3.3.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{3 \sqrt{2}}{2^{1}}$

ステップ 9.3.3.6.5

指数を求めます。

$\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 10

この双曲線は左右に開なので、漸近線は $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ の形に従います。

$y = \pm 1 \cdot (x - (1)) + 0$

ステップ 11

簡約し、1番目の漸近線を求めます。

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ステップ 11.1

括弧を削除します。

$y = 1 \cdot (x - (1)) + 0$

ステップ 11.2

$1 \cdot (x - (1)) + 0$ を簡約します。

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ステップ 11.2.1

$1 \cdot (x - (1))$ と $0$ をたし算します。

$y = 1 \cdot (x - (1))$

ステップ 11.2.2

$x - (1)$ に $1$ をかけます。

$y = x - (1)$

ステップ 11.2.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$y = x - 1$

ステップ 12

簡約し、2番目の漸近線を求めます。

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ステップ 12.1

括弧を削除します。

$y = - 1 \cdot (x - (1)) + 0$

ステップ 12.2

$- 1 \cdot (x - (1)) + 0$ を簡約します。

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ステップ 12.2.1

式を簡約します。

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ステップ 12.2.1.1

$- 1 \cdot (x - (1))$ と $0$ をたし算します。

$y = - 1 \cdot (x - (1))$

ステップ 12.2.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$y = - 1 \cdot (x - 1)$

ステップ 12.2.2

分配則を当てはめます。

$y = - 1 x - 1 \cdot - 1$

ステップ 12.2.3

式を簡約します。

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ステップ 12.2.3.1

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$y = - x - 1 \cdot - 1$

ステップ 12.2.3.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y = - x + 1$

ステップ 13

この双曲線には2本の漸近線があります。

$y = x - 1, y = - x + 1$

ステップ 14

これらの値は双曲線をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(1, 0)$

頂点： $(4, 0), (- 2, 0)$

焦点： $(1 + 3 \sqrt{2}, 0), (1 - 3 \sqrt{2}, 0)$

偏心： $\sqrt{2}$

焦点のパラメータ： $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

漸近線： $y = x - 1$ 、 $y = - x + 1$

ステップ 15

微分積分学準備 例

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