微分積分学準備例

$4 x^{2} - 9 y^{2} - 16 x - 72 y - 129 = 0$

ステップ 1

双曲線の標準形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式の両辺に $129$ を足します。

$4 x^{2} - 9 y^{2} - 16 x - 72 y = 129$

ステップ 1.2

$4 x^{2} - 16 x$ の平方完成。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 4$

$b = - 16$

$c = 0$

ステップ 1.2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 16}{2 \cdot 4}$

ステップ 1.2.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1

$- 16$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1.1

$2$ を $- 16$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 4}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot 4$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 (4)}$

ステップ 1.2.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 4}$

ステップ 1.2.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 8}{4}$

ステップ 1.2.3.2.2

$- 8$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.2.1

$4$ を $- 8$ で因数分解します。

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4}$

ステップ 1.2.3.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.2.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4 (1)}$

ステップ 1.2.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.2.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 2}{1}$

ステップ 1.2.3.2.2.2.4

$- 2$ を $1$ で割ります。

$d = - 2$

ステップ 1.2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- 16)}^{2}}{4 \cdot 4}$

ステップ 1.2.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1.1

$- 16$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{256}{4 \cdot 4}$

ステップ 1.2.4.2.1.2

$4$ に $4$ をかけます。

$e = 0 - \frac{256}{16}$

ステップ 1.2.4.2.1.3

$256$ を $16$ で割ります。

$e = 0 - 1 \cdot 16$

ステップ 1.2.4.2.1.4

$- 1$ に $16$ をかけます。

$e = 0 - 16$

ステップ 1.2.4.2.2

$0$ から $16$ を引きます。

$e = - 16$

ステップ 1.2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $4 {(x - 2)}^{2} - 16$ に代入します。

$4 {(x - 2)}^{2} - 16$

ステップ 1.3

$4 {(x - 2)}^{2} - 16$ を方程式 $4 x^{2} - 9 y^{2} - 16 x - 72 y = 129$ の中の $4 x^{2} - 16 x$ に代入します。

$4 {(x - 2)}^{2} - 16 - 9 y^{2} - 72 y = 129$

ステップ 1.4

両辺に $16$ を加えて、 $- 16$ を方程式の右辺に移動させます。

$4 {(x - 2)}^{2} - 9 y^{2} - 72 y = 129 + 16$

ステップ 1.5

$- 9 y^{2} - 72 y$ の平方完成。

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ステップ 1.5.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = - 9$

$b = - 72$

$c = 0$

ステップ 1.5.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.5.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.5.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 72}{2 \cdot - 9}$

ステップ 1.5.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1

$- 72$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1.1

$2$ を $- 72$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 36}{2 \cdot - 9}$

ステップ 1.5.3.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot - 9$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 36}{2 (- 9)}$

ステップ 1.5.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot - 36}{2 \cdot - 9}$

ステップ 1.5.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 36}{- 9}$

ステップ 1.5.3.2.2

$- 36$ と $- 9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.2.1

$- 9$ を $- 36$ で因数分解します。

$d = \frac{- 9 (4)}{- 9}$

ステップ 1.5.3.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.2.2.1

$- 9$ を $- 9$ で因数分解します。

$d = \frac{- 9 \cdot 4}{- 9 \cdot 1}$

ステップ 1.5.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{- 9 \cdot 4}{- 9 \cdot 1}$

ステップ 1.5.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{4}{1}$

ステップ 1.5.3.2.2.2.4

$4$ を $1$ で割ります。

$d = 4$

ステップ 1.5.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.5.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- 72)}^{2}}{4 \cdot - 9}$

ステップ 1.5.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.5.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.5.4.2.1.1

$- 72$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{5184}{4 \cdot - 9}$

ステップ 1.5.4.2.1.2

$4$ に $- 9$ をかけます。

$e = 0 - \frac{5184}{- 36}$

ステップ 1.5.4.2.1.3

$5184$ を $- 36$ で割ります。

$e = 0 - - 144$

ステップ 1.5.4.2.1.4

$- 1$ に $- 144$ をかけます。

$e = 0 + 144$

ステップ 1.5.4.2.2

$0$ と $144$ をたし算します。

$e = 144$

ステップ 1.5.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $- 9 {(y + 4)}^{2} + 144$ に代入します。

$- 9 {(y + 4)}^{2} + 144$

ステップ 1.6

$- 9 {(y + 4)}^{2} + 144$ を方程式 $4 x^{2} - 9 y^{2} - 16 x - 72 y = 129$ の中の $- 9 y^{2} - 72 y$ に代入します。

$4 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y + 4)}^{2} + 144 = 129 + 16$

ステップ 1.7

両辺に $144$ を加えて、 $144$ を方程式の右辺に移動させます。

$4 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y + 4)}^{2} = 129 + 16 - 144$

ステップ 1.8

$129 + 16 - 144$ を簡約します。

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ステップ 1.8.1

$129$ と $16$ をたし算します。

$4 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y + 4)}^{2} = 145 - 144$

ステップ 1.8.2

$145$ から $144$ を引きます。

$4 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y + 4)}^{2} = 1$

ステップ 1.9

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{\frac{1}{4}} - \frac{{(y + 4)}^{2}}{\frac{1}{9}} = 1$

ステップ 2

双曲線の形です。この形を利用して、双曲線の頂点と漸近線を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

ステップ 3

この双曲線の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点 $a$ からのy補正値を表します。

$a = \frac{1}{2}$

$b = \frac{1}{3}$

$k = - 4$

$h = 2$

ステップ 4

双曲線の中心は $(h, k)$ の形に従います。 $h$ と $k$ の値に代入します。

$(2, - 4)$

ステップ 5

中心から焦点までの距離 $c$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して双曲線の中心から焦点までの距離を求めます。

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 5.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$\sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

ステップ 5.3.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\sqrt{\frac{1}{2^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

ステップ 5.3.3

$2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

ステップ 5.3.4

積の法則を $\frac{1}{3}$ に当てはめます。

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1^{2}}{3^{2}}}$

ステップ 5.3.5

1のすべての数の累乗は1です。

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{3^{2}}}$

ステップ 5.3.6

$3$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{9}}$

ステップ 5.3.7

$\frac{1}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{9}{9}$ を掛けます。

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} + \frac{1}{9}}$

ステップ 5.3.8

$\frac{1}{9}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} + \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

ステップ 5.3.9

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $36$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 5.3.9.1

$\frac{1}{4}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

$\sqrt{\frac{9}{4 \cdot 9} + \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

ステップ 5.3.9.2

$4$ に $9$ をかけます。

$\sqrt{\frac{9}{36} + \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

ステップ 5.3.9.3

$\frac{1}{9}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\sqrt{\frac{9}{36} + \frac{4}{9 \cdot 4}}$

ステップ 5.3.9.4

$9$ に $4$ をかけます。

$\sqrt{\frac{9}{36} + \frac{4}{36}}$

ステップ 5.3.10

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{9 + 4}{36}}$

ステップ 5.3.11

$9$ と $4$ をたし算します。

$\sqrt{\frac{13}{36}}$

ステップ 5.3.12

$\sqrt{\frac{13}{36}}$ を $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{36}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{36}}$

ステップ 5.3.13

分母を簡約します。

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ステップ 5.3.13.1

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{6^{2}}}$

ステップ 5.3.13.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{\sqrt{13}}{6}$

ステップ 6

対頂点を求めます。

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ステップ 6.1

双曲線の1番目の頂点は、 $a$ を $h$ に加えることで求められます。

$(h + a, k)$

ステップ 6.2

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(\frac{5}{2}, - 4)$

ステップ 6.3

双曲線の2番目の頂点は、 $h$ から $a$ を引くことで求められます。

$(h - a, k)$

ステップ 6.4

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(\frac{3}{2}, - 4)$

ステップ 6.5

双曲線の交点は $(h \pm a, k)$ の形をとります。双曲線は2つの頂点をもちます。

$(\frac{5}{2}, - 4), (\frac{3}{2}, - 4)$

ステップ 7

焦点を求めます。

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ステップ 7.1

双曲線の1番目の焦点は、 $c$ を $h$ に加えることで求められます。

$(h + c, k)$

ステップ 7.2

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(2 + \frac{\sqrt{13}}{6}, - 4)$

ステップ 7.3

双曲線の2番目の焦点は、 $h$ から $c$ を引くことで求められます。

$(h - c, k)$

ステップ 7.4

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(2 - \frac{\sqrt{13}}{6}, - 4)$

ステップ 7.5

双曲線の焦点は $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ の形をとります。双曲線は2つの焦点をもちます。

$(2 + \frac{\sqrt{13}}{6}, - 4), (2 - \frac{\sqrt{13}}{6}, - 4)$

ステップ 8

離心率を求めます。

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ステップ 8.1

次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

ステップ 8.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}}{\frac{1}{2}}$

ステップ 8.3

簡約します。

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ステップ 8.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

ステップ 8.3.2

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$\sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

ステップ 8.3.3

1のすべての数の累乗は1です。

$\sqrt{\frac{1}{2^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

ステップ 8.3.4

$2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

ステップ 8.3.5

積の法則を $\frac{1}{3}$ に当てはめます。

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1^{2}}{3^{2}}} \cdot 2$

ステップ 8.3.6

1のすべての数の累乗は1です。

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{3^{2}}} \cdot 2$

ステップ 8.3.7

$3$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{9}} \cdot 2$

ステップ 8.3.8

$\frac{1}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{9}{9}$ を掛けます。

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} + \frac{1}{9}} \cdot 2$

ステップ 8.3.9

$\frac{1}{9}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} + \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}} \cdot 2$

ステップ 8.3.10

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $36$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 8.3.10.1

$\frac{1}{4}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

$\sqrt{\frac{9}{4 \cdot 9} + \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}} \cdot 2$

ステップ 8.3.10.2

$4$ に $9$ をかけます。

$\sqrt{\frac{9}{36} + \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}} \cdot 2$

ステップ 8.3.10.3

$\frac{1}{9}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\sqrt{\frac{9}{36} + \frac{4}{9 \cdot 4}} \cdot 2$

ステップ 8.3.10.4

$9$ に $4$ をかけます。

$\sqrt{\frac{9}{36} + \frac{4}{36}} \cdot 2$

ステップ 8.3.11

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{9 + 4}{36}} \cdot 2$

ステップ 8.3.12

$9$ と $4$ をたし算します。

$\sqrt{\frac{13}{36}} \cdot 2$

ステップ 8.3.13

$\sqrt{\frac{13}{36}}$ を $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{36}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{36}} \cdot 2$

ステップ 8.3.14

分母を簡約します。

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ステップ 8.3.14.1

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{6^{2}}} \cdot 2$

ステップ 8.3.14.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{\sqrt{13}}{6} \cdot 2$

ステップ 8.3.15

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.15.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{13}}{2 (3)} \cdot 2$

ステップ 8.3.15.2

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{13}}{2 \cdot 3} \cdot 2$

ステップ 8.3.15.3

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{13}}{3}$

ステップ 9

焦点パラメーターを求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

次の公式を利用して双曲線の焦点パラメータの値を求めます。

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

ステップ 9.2

$b$ と $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ の値を公式に代入します。

$\frac{\frac{\frac{1}{3^{2}}}{\sqrt{13}}}{6}$

ステップ 9.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{\frac{1}{3^{2}}}{\sqrt{13}} \cdot \frac{1}{6}$

ステップ 9.3.2

まとめる。

$\frac{\frac{1}{3^{2}} \cdot 1}{\sqrt{13} \cdot 6}$

ステップ 9.3.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.3.1

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{\frac{1}{9} \cdot 1}{\sqrt{13} \cdot 6}$

ステップ 9.3.3.2

$\frac{1}{9}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{1}{9}}{\sqrt{13} \cdot 6}$

ステップ 9.3.3.3

$6$ を $\sqrt{13}$ の左に移動させます。

$\frac{\frac{1}{9}}{6 \sqrt{13}}$

ステップ 9.3.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{6 \sqrt{13}}$

ステップ 9.3.5

$\frac{1}{6 \sqrt{13}}$ に $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ をかけます。

$\frac{1}{9} (\frac{1}{6 \sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}})$

ステップ 9.3.6

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 9.3.6.1

$\frac{1}{6 \sqrt{13}}$ に $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ をかけます。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 \sqrt{13} \sqrt{13}}$

ステップ 9.3.6.2

$\sqrt{13}$ を移動させます。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 (\sqrt{13} \sqrt{13})}$

ステップ 9.3.6.3

$\sqrt{13}$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 ({\sqrt{13}}^{1} \sqrt{13})}$

ステップ 9.3.6.4

$\sqrt{13}$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 ({\sqrt{13}}^{1} {\sqrt{13}}^{1})}$

ステップ 9.3.6.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 {\sqrt{13}}^{1 + 1}}$

ステップ 9.3.6.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 {\sqrt{13}}^{2}}$

ステップ 9.3.6.7

${\sqrt{13}}^{2}$ を $13$ に書き換えます。

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ステップ 9.3.6.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{13}$ を $13^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 {(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 9.3.6.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 \cdot 13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 9.3.6.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 \cdot 13^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 9.3.6.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.6.7.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 \cdot 13^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 9.3.6.7.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 \cdot 13^{1}}$

ステップ 9.3.6.7.5

指数を求めます。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 \cdot 13}$

ステップ 9.3.7

$6$ に $13$ をかけます。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{78}$

ステップ 9.3.8

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{78}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.8.1

$\frac{1}{9}$ に $\frac{\sqrt{13}}{78}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{13}}{9 \cdot 78}$

ステップ 9.3.8.2

$9$ に $78$ をかけます。

$\frac{\sqrt{13}}{702}$

ステップ 10

この双曲線は左右に開なので、漸近線は $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ の形に従います。

$y = \pm \frac{2}{3} \cdot (x - (2)) - 4$

ステップ 11

簡約し、1番目の漸近線を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

括弧を削除します。

$y = \frac{2}{3} \cdot (x - (2)) - 4$

ステップ 11.2

$\frac{2}{3} \cdot (x - (2)) - 4$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{2}{3} \cdot (x - 2) - 4$

ステップ 11.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3} \cdot - 2 - 4$

ステップ 11.2.1.3

$\frac{2}{3}$ と $x$ をまとめます。

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot - 2 - 4$

ステップ 11.2.1.4

$\frac{2}{3} \cdot - 2$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.4.1

$\frac{2}{3}$ と $- 2$ をまとめます。

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{2 \cdot - 2}{3} - 4$

ステップ 11.2.1.4.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 4}{3} - 4$

ステップ 11.2.1.5

分数の前に負数を移動させます。

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3} - 4$

ステップ 11.2.2

$- 4$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 11.2.3

$- 4$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3}$

ステップ 11.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 4 - 4 \cdot 3}{3}$

ステップ 11.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.5.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 4 - 12}{3}$

ステップ 11.2.5.2

$- 4$ から $12$ を引きます。

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 16}{3}$

ステップ 11.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{16}{3}$

ステップ 12

簡約し、2番目の漸近線を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

括弧を削除します。

$y = - \frac{2}{3} \cdot (x - (2)) - 4$

ステップ 12.2

$- \frac{2}{3} \cdot (x - (2)) - 4$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$y = - \frac{2}{3} \cdot (x - 2) - 4$

ステップ 12.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y = - \frac{2}{3} x - \frac{2}{3} \cdot - 2 - 4$

ステップ 12.2.1.3

$x$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} - \frac{2}{3} \cdot - 2 - 4$

ステップ 12.2.1.4

$- \frac{2}{3} \cdot - 2$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.4.1

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} + 2 (\frac{2}{3}) - 4$

ステップ 12.2.1.4.2

$2$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} + \frac{2 \cdot 2}{3} - 4$

ステップ 12.2.1.4.3

$2$ に $2$ をかけます。

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} + \frac{4}{3} - 4$

ステップ 12.2.1.5

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{4}{3} - 4$

ステップ 12.2.2

$- 4$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{4}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 12.2.3

$- 4$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3}$

ステップ 12.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{4 - 4 \cdot 3}{3}$

ステップ 12.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.5.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{4 - 12}{3}$

ステップ 12.2.5.2

$4$ から $12$ を引きます。

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{- 8}{3}$

ステップ 12.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{2 x}{3} - \frac{8}{3}$

ステップ 13

この双曲線には2本の漸近線があります。

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{16}{3}, y = - \frac{2 x}{3} - \frac{8}{3}$

ステップ 14

これらの値は双曲線をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(2, - 4)$

頂点： $(\frac{5}{2}, - 4), (\frac{3}{2}, - 4)$

焦点： $(2 + \frac{\sqrt{13}}{6}, - 4), (2 - \frac{\sqrt{13}}{6}, - 4)$

偏心： $\frac{\sqrt{13}}{3}$

焦点のパラメータ： $\frac{\sqrt{13}}{702}$

漸近線： $y = \frac{2 x}{3} - \frac{16}{3}$ 、 $y = - \frac{2 x}{3} - \frac{8}{3}$

ステップ 15

微分積分学準備 例

微分積分学準備例