微分積分学準備例

$x^{2} + 2 x + 15 y = - 3 y^{2} + 7$

ステップ 1

楕円の標準形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

方程式の両辺に $3 y^{2}$ を足します。

$x^{2} + 2 x + 15 y + 3 y^{2} = 7$

ステップ 1.1.2

$15 y$ を移動させます。

$x^{2} + 2 x + 3 y^{2} + 15 y = 7$

ステップ 1.1.3

$2 x$ を移動させます。

$x^{2} + 3 y^{2} + 2 x + 15 y = 7$

ステップ 1.2

$x^{2} + 2 x$ の平方完成。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 1$

$b = 2$

$c = 0$

ステップ 1.2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1

共通因数を約分します。

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.3.2.2

式を書き換えます。

$d = 1$

ステップ 1.2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.2.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.2.4.2.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$e = 0 - \frac{4}{4}$

ステップ 1.2.4.2.1.3

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1.3.1

共通因数を約分します。

$e = 0 - \frac{4}{4}$

ステップ 1.2.4.2.1.3.2

式を書き換えます。

$e = 0 - 1 \cdot 1$

ステップ 1.2.4.2.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$e = 0 - 1$

ステップ 1.2.4.2.2

$0$ から $1$ を引きます。

$e = - 1$

ステップ 1.2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 ${(x + 1)}^{2} - 1$ に代入します。

${(x + 1)}^{2} - 1$

ステップ 1.3

${(x + 1)}^{2} - 1$ を方程式 $x^{2} + 3 y^{2} + 2 x + 15 y = 7$ の中の $x^{2} + 2 x$ に代入します。

${(x + 1)}^{2} - 1 + 3 y^{2} + 15 y = 7$

ステップ 1.4

両辺に $1$ を加えて、 $- 1$ を方程式の右辺に移動させます。

${(x + 1)}^{2} + 3 y^{2} + 15 y = 7 + 1$

ステップ 1.5

$3 y^{2} + 15 y$ の平方完成。

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ステップ 1.5.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 3$

$b = 15$

$c = 0$

ステップ 1.5.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.5.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{15}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.5.3.2

$15$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1

$3$ を $15$ で因数分解します。

$d = \frac{3 \cdot 5}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.5.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.2.1

$3$ を $2 \cdot 3$ で因数分解します。

$d = \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 2}$

ステップ 1.5.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 2}$

ステップ 1.5.3.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{5}{2}$

ステップ 1.5.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{15^{2}}{4 \cdot 3}$

ステップ 1.5.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.1.1

$15$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{225}{4 \cdot 3}$

ステップ 1.5.4.2.1.2

$4$ に $3$ をかけます。

$e = 0 - \frac{225}{12}$

ステップ 1.5.4.2.1.3

$225$ と $12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.1.3.1

$3$ を $225$ で因数分解します。

$e = 0 - \frac{3 (75)}{12}$

ステップ 1.5.4.2.1.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.1.3.2.1

$3$ を $12$ で因数分解します。

$e = 0 - \frac{3 \cdot 75}{3 \cdot 4}$

ステップ 1.5.4.2.1.3.2.2

共通因数を約分します。

$e = 0 - \frac{3 \cdot 75}{3 \cdot 4}$

ステップ 1.5.4.2.1.3.2.3

式を書き換えます。

$e = 0 - \frac{75}{4}$

ステップ 1.5.4.2.2

$0$ から $\frac{75}{4}$ を引きます。

$e = - \frac{75}{4}$

ステップ 1.5.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{75}{4}$ に代入します。

$3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{75}{4}$

ステップ 1.6

$3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{75}{4}$ を方程式 $x^{2} + 3 y^{2} + 2 x + 15 y = 7$ の中の $3 y^{2} + 15 y$ に代入します。

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{75}{4} = 7 + 1$

ステップ 1.7

両辺に $\frac{75}{4}$ を加えて、 $- \frac{75}{4}$ を方程式の右辺に移動させます。

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = 7 + 1 + \frac{75}{4}$

ステップ 1.8

$7 + 1 + \frac{75}{4}$ を簡約します。

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ステップ 1.8.1

公分母を求めます。

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ステップ 1.8.1.1

$7$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{7}{1} + 1 + \frac{75}{4}$

ステップ 1.8.1.2

$\frac{7}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{7}{1} \cdot \frac{4}{4} + 1 + \frac{75}{4}$

ステップ 1.8.1.3

$\frac{7}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{7 \cdot 4}{4} + 1 + \frac{75}{4}$

ステップ 1.8.1.4

$1$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{7 \cdot 4}{4} + \frac{1}{1} + \frac{75}{4}$

ステップ 1.8.1.5

$\frac{1}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{7 \cdot 4}{4} + \frac{1}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{75}{4}$

ステップ 1.8.1.6

$\frac{1}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{7 \cdot 4}{4} + \frac{4}{4} + \frac{75}{4}$

ステップ 1.8.2

公分母の分子をまとめます。

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{7 \cdot 4 + 4 + 75}{4}$

ステップ 1.8.3

式を簡約します。

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ステップ 1.8.3.1

$7$ に $4$ をかけます。

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{28 + 4 + 75}{4}$

ステップ 1.8.3.2

$28$ と $4$ をたし算します。

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{32 + 75}{4}$

ステップ 1.8.3.3

$32$ と $75$ をたし算します。

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{107}{4}$

ステップ 1.9

各項を $\frac{107}{4}$ で割り、右辺を1と等しくします。

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{\frac{107}{4}} + \frac{3 {(y + \frac{5}{2})}^{2}}{\frac{107}{4}} = \frac{\frac{107}{4}}{\frac{107}{4}}$

ステップ 1.10

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{\frac{107}{4}} + \frac{{(y + \frac{5}{2})}^{2}}{\frac{107}{12}} = 1$

ステップ 2

楕円の形です。この形を利用して、楕円の長軸と短軸、および中心を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

ステップ 3

この楕円の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $a$ は楕円の長軸の半径を、 $b$ は楕円の短軸の半径を、 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点からのy補正値を表します。

$a = \frac{\sqrt{107}}{2}$

$b = \frac{\sqrt{321}}{6}$

$k = - \frac{5}{2}$

$h = - 1$

ステップ 4

楕円の中心は $(h, k)$ の形に従います。 $h$ と $k$ の値に代入します。

$(- 1, - \frac{5}{2})$

ステップ 5

中心から焦点までの距離 $c$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して楕円の中心から焦点までの距離を求めます。

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

ステップ 5.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{107}}{2})}^{2} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

積の法則を $\frac{\sqrt{107}}{2}$ に当てはめます。

$\sqrt{\frac{{\sqrt{107}}^{2}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

ステップ 5.3.2

${\sqrt{107}}^{2}$ を $107$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{107}$ を $107^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{\frac{{(107^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

ステップ 5.3.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{\frac{107^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

ステップ 5.3.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{\frac{107^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

ステップ 5.3.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{\frac{107^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

ステップ 5.3.2.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{\frac{107^{1}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

ステップ 5.3.2.5

指数を求めます。

$\sqrt{\frac{107}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

ステップ 5.3.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{107}{4} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

ステップ 5.3.3.2

積の法則を $\frac{\sqrt{321}}{6}$ に当てはめます。

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{{\sqrt{321}}^{2}}{6^{2}}}$

ステップ 5.3.4

${\sqrt{321}}^{2}$ を $321$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{321}$ を $321^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{{(321^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6^{2}}}$

ステップ 5.3.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6^{2}}}$

ステップ 5.3.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321^{\frac{2}{2}}}{6^{2}}}$

ステップ 5.3.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321^{\frac{2}{2}}}{6^{2}}}$

ステップ 5.3.4.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321^{1}}{6^{2}}}$

ステップ 5.3.4.5

指数を求めます。

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321}{6^{2}}}$

ステップ 5.3.5

$6$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321}{36}}$

ステップ 5.3.6

$321$ と $36$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.6.1

$3$ を $321$ で因数分解します。

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{3 (107)}{36}}$

ステップ 5.3.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.2.1

$3$ を $36$ で因数分解します。

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{3 \cdot 107}{3 \cdot 12}}$

ステップ 5.3.6.2.2

共通因数を約分します。

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{3 \cdot 107}{3 \cdot 12}}$

ステップ 5.3.6.2.3

式を書き換えます。

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{107}{12}}$

ステップ 5.3.7

$\frac{107}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\sqrt{\frac{107}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{107}{12}}$

ステップ 5.3.8

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $12$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 5.3.8.1

$\frac{107}{4}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\sqrt{\frac{107 \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{107}{12}}$

ステップ 5.3.8.2

$4$ に $3$ をかけます。

$\sqrt{\frac{107 \cdot 3}{12} - \frac{107}{12}}$

ステップ 5.3.9

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{107 \cdot 3 - 107}{12}}$

ステップ 5.3.10

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.10.1

$107$ に $3$ をかけます。

$\sqrt{\frac{321 - 107}{12}}$

ステップ 5.3.10.2

$321$ から $107$ を引きます。

$\sqrt{\frac{214}{12}}$

ステップ 5.3.11

$214$ と $12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.11.1

$2$ を $214$ で因数分解します。

$\sqrt{\frac{2 (107)}{12}}$

ステップ 5.3.11.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.11.2.1

$2$ を $12$ で因数分解します。

$\sqrt{\frac{2 \cdot 107}{2 \cdot 6}}$

ステップ 5.3.11.2.2

共通因数を約分します。

$\sqrt{\frac{2 \cdot 107}{2 \cdot 6}}$

ステップ 5.3.11.2.3

式を書き換えます。

$\sqrt{\frac{107}{6}}$

ステップ 5.3.12

$\sqrt{\frac{107}{6}}$ を $\frac{\sqrt{107}}{\sqrt{6}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{107}}{\sqrt{6}}$

ステップ 5.3.13

$\frac{\sqrt{107}}{\sqrt{6}}$ に $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{107}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

ステップ 5.3.14

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 5.3.14.1

$\frac{\sqrt{107}}{\sqrt{6}}$ に $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

ステップ 5.3.14.2

$\sqrt{6}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

ステップ 5.3.14.3

$\sqrt{6}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

ステップ 5.3.14.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

ステップ 5.3.14.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

ステップ 5.3.14.6

${\sqrt{6}}^{2}$ を $6$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.14.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{6}$ を $6^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 5.3.14.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 5.3.14.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.3.14.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.14.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.3.14.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{6^{1}}$

ステップ 5.3.14.6.5

指数を求めます。

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{6}$

ステップ 5.3.15

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.15.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{\sqrt{107 \cdot 6}}{6}$

ステップ 5.3.15.2

$107$ に $6$ をかけます。

$\frac{\sqrt{642}}{6}$

ステップ 6

対頂点を求めます。

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ステップ 6.1

楕円の1番目の頂点は、 $a$ を $h$ に加えることで求められます。

$(h + a, k)$

ステップ 6.2

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(- 1 + \frac{\sqrt{107}}{2}, - \frac{5}{2})$

ステップ 6.3

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

ステップ 6.4

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(- 1 - (\frac{\sqrt{107}}{2}), - \frac{5}{2})$

ステップ 6.5

簡約します。

$(- 1 - \frac{\sqrt{107}}{2}, - \frac{5}{2})$

ステップ 6.6

楕円には2つの頂点があります。

${Vertex}_{1}$ : $(- 1 + \frac{\sqrt{107}}{2}, - \frac{5}{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1 - \frac{\sqrt{107}}{2}, - \frac{5}{2})$

${Vertex}_{1}$ : $(- 1 + \frac{\sqrt{107}}{2}, - \frac{5}{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1 - \frac{\sqrt{107}}{2}, - \frac{5}{2})$

ステップ 7

焦点を求めます。

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ステップ 7.1

楕円の1番目の焦点は、 $c$ を $h$ に加えることで求められます。

$(h + c, k)$

ステップ 7.2

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(- 1 + \frac{\sqrt{642}}{6}, - \frac{5}{2})$

ステップ 7.3

楕円の2番目の焦点は、 $h$ から $c$ を引くことで求められます。

$(h - c, k)$

ステップ 7.4

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(- 1 - (\frac{\sqrt{642}}{6}), - \frac{5}{2})$

ステップ 7.5

簡約します。

$(- 1 - \frac{\sqrt{642}}{6}, - \frac{5}{2})$

ステップ 7.6

楕円には2つの焦点があります。

${Focus}_{1}$ : $(- 1 + \frac{\sqrt{642}}{6}, - \frac{5}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1 - \frac{\sqrt{642}}{6}, - \frac{5}{2})$

${Focus}_{1}$ : $(- 1 + \frac{\sqrt{642}}{6}, - \frac{5}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1 - \frac{\sqrt{642}}{6}, - \frac{5}{2})$

ステップ 8

離心率を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

ステップ 8.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(\frac{\sqrt{107}}{2})}^{2} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}}{\frac{\sqrt{107}}{2}}$

ステップ 8.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{107}}{2})}^{2} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

ステップ 8.3.2

積の法則を $\frac{\sqrt{107}}{2}$ に当てはめます。

$\sqrt{\frac{{\sqrt{107}}^{2}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

ステップ 8.3.3

${\sqrt{107}}^{2}$ を $107$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{107}$ を $107^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{\frac{{(107^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

ステップ 8.3.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{\frac{107^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

ステップ 8.3.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{\frac{107^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

ステップ 8.3.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.3.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{\frac{107^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

ステップ 8.3.3.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{\frac{107^{1}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

ステップ 8.3.3.5

指数を求めます。

$\sqrt{\frac{107}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

ステップ 8.3.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.4.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{107}{4} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

ステップ 8.3.4.2

積の法則を $\frac{\sqrt{321}}{6}$ に当てはめます。

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{{\sqrt{321}}^{2}}{6^{2}}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

ステップ 8.3.5

${\sqrt{321}}^{2}$ を $321$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{321}$ を $321^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{{(321^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6^{2}}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

ステップ 8.3.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6^{2}}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

ステップ 8.3.5.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321^{\frac{2}{2}}}{6^{2}}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

ステップ 8.3.5.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.5.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321^{\frac{2}{2}}}{6^{2}}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

ステップ 8.3.5.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321^{1}}{6^{2}}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

ステップ 8.3.5.5

指数を求めます。

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321}{6^{2}}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

ステップ 8.3.6

$6$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321}{36}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

ステップ 8.3.7

$321$ と $36$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.7.1

$3$ を $321$ で因数分解します。

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{3 (107)}{36}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

ステップ 8.3.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.7.2.1

$3$ を $36$ で因数分解します。

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{3 \cdot 107}{3 \cdot 12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

ステップ 8.3.7.2.2

共通因数を約分します。

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{3 \cdot 107}{3 \cdot 12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

ステップ 8.3.7.2.3

式を書き換えます。

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{107}{12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

ステップ 8.3.8

$\frac{107}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\sqrt{\frac{107}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{107}{12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

ステップ 8.3.9

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $12$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 8.3.9.1

$\frac{107}{4}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\sqrt{\frac{107 \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{107}{12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

ステップ 8.3.9.2

$4$ に $3$ をかけます。

$\sqrt{\frac{107 \cdot 3}{12} - \frac{107}{12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

ステップ 8.3.10

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{107 \cdot 3 - 107}{12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

ステップ 8.3.11

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.11.1

$107$ に $3$ をかけます。

$\sqrt{\frac{321 - 107}{12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

ステップ 8.3.11.2

$321$ から $107$ を引きます。

$\sqrt{\frac{214}{12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

ステップ 8.3.12

$214$ と $12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.12.1

$2$ を $214$ で因数分解します。

$\sqrt{\frac{2 (107)}{12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

ステップ 8.3.12.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.12.2.1

$2$ を $12$ で因数分解します。

$\sqrt{\frac{2 \cdot 107}{2 \cdot 6}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

ステップ 8.3.12.2.2

共通因数を約分します。

$\sqrt{\frac{2 \cdot 107}{2 \cdot 6}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

ステップ 8.3.12.2.3

式を書き換えます。

$\sqrt{\frac{107}{6}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

ステップ 8.3.13

$\sqrt{\frac{107}{6}}$ を $\frac{\sqrt{107}}{\sqrt{6}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{107}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{2}{\sqrt{107}}$

ステップ 8.3.14

$\sqrt{107}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.14.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{107}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{2}{\sqrt{107}}$

ステップ 8.3.14.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{6}} \cdot 2$

ステップ 8.3.15

$\frac{1}{\sqrt{6}}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2}{\sqrt{6}}$

ステップ 8.3.16

$\frac{2}{\sqrt{6}}$ に $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ をかけます。

$\frac{2}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

ステップ 8.3.17

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 8.3.17.1

$\frac{2}{\sqrt{6}}$ に $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ をかけます。

$\frac{2 \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

ステップ 8.3.17.2

$\sqrt{6}$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

ステップ 8.3.17.3

$\sqrt{6}$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

ステップ 8.3.17.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

ステップ 8.3.17.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

ステップ 8.3.17.6

${\sqrt{6}}^{2}$ を $6$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.17.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{6}$ を $6^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{2 \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 8.3.17.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{2 \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 8.3.17.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2 \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 8.3.17.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.17.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 8.3.17.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{2 \sqrt{6}}{6^{1}}$

ステップ 8.3.17.6.5

指数を求めます。

$\frac{2 \sqrt{6}}{6}$

ステップ 8.3.18

$2$ と $6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.18.1

$2$ を $2 \sqrt{6}$ で因数分解します。

$\frac{2 (\sqrt{6})}{6}$

ステップ 8.3.18.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.18.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{2 \sqrt{6}}{2 \cdot 3}$

ステップ 8.3.18.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \sqrt{6}}{2 \cdot 3}$

ステップ 8.3.18.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{6}}{3}$

ステップ 9

これらの値は楕円をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(- 1, - \frac{5}{2})$

${Vertex}_{1}$ : $(- 1 + \frac{\sqrt{107}}{2}, - \frac{5}{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1 - \frac{\sqrt{107}}{2}, - \frac{5}{2})$

${Focus}_{1}$ : $(- 1 + \frac{\sqrt{642}}{6}, - \frac{5}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1 - \frac{\sqrt{642}}{6}, - \frac{5}{2})$

偏心： $\frac{\sqrt{6}}{3}$

ステップ 10

微分積分学準備 例

微分積分学準備例