微分積分学準備例

$x^{2} + 2 x + y - 1 = 0$

ステップ 1

方程式を頂点形で書き換えます。

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ステップ 1.1

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 1.1.1

方程式の両辺から $x^{2}$ を引きます。

$2 x + y - 1 = - x^{2}$

ステップ 1.1.2

方程式の両辺から $2 x$ を引きます。

$y - 1 = - x^{2} - 2 x$

ステップ 1.1.3

方程式の両辺に $1$ を足します。

$y = - x^{2} - 2 x + 1$

ステップ 1.2

$- x^{2} - 2 x + 1$ の平方完成。

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ステップ 1.2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = - 1$

$b = - 2$

$c = 1$

ステップ 1.2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 2}{2 \cdot - 1}$

ステップ 1.2.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.1.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot - 1}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

$\frac{- 1}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$d = - 1 \cdot - 1$

ステップ 1.2.3.2.2

$- 1 \cdot - 1$ を $- - 1$ に書き換えます。

$d = - - 1$

ステップ 1.2.3.2.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$d = 1$

ステップ 1.2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 1 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

ステップ 1.2.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$e = 1 - \frac{4}{4 \cdot - 1}$

ステップ 1.2.4.2.1.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$e = 1 - \frac{4}{- 4}$

ステップ 1.2.4.2.1.3

$4$ を $- 4$ で割ります。

$e = 1 - - 1$

ステップ 1.2.4.2.1.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e = 1 + 1$

ステップ 1.2.4.2.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$e = 2$

ステップ 1.2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $- {(x + 1)}^{2} + 2$ に代入します。

$- {(x + 1)}^{2} + 2$

ステップ 1.3

$y$ は新しい右辺と等しいとします。

$y = - {(x + 1)}^{2} + 2$

ステップ 2

頂点形、 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = - 1$

$h = - 1$

$k = 2$

ステップ 3

$a$ の値が負なので、放物線は下に開です。

下に開く

ステップ 4

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(- 1, 2)$

ステップ 5

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 5.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

ステップ 5.3

$1$ と $- 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

ステップ 5.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{4}$

ステップ 6

焦点を求めます。

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ステップ 6.1

放物線の焦点は、放物線が上下に開の場合、 $p$ をy座標 $k$ に加えて求められます。

$(h, k + p)$

ステップ 6.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- 1, \frac{7}{4})$

ステップ 7

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

$x = - 1$

ステップ 8

準線を求めます。

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ステップ 8.1

放物線の準線は、放物線が上下に開の場合、頂点のy座標 $k$ から $p$ を引いて求められる水平線です。

$y = k - p$

ステップ 8.2

$p$ と $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$y = \frac{9}{4}$

ステップ 9

放物線の性質を利用して放物線を分析しグラフに描きます。

方向：下に開

頂点： $(- 1, 2)$

焦点： $(- 1, \frac{7}{4})$

対称軸： $x = - 1$

準線： $y = \frac{9}{4}$

ステップ 10

微分積分学準備 例

微分積分学準備例