微分積分学準備例

$2 x^{2} + 7 y^{2} = 14$

ステップ 1

楕円の標準形を求めます。

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ステップ 1.1

各項を $14$ で割り、右辺を1と等しくします。

$\frac{2 x^{2}}{14} + \frac{7 y^{2}}{14} = \frac{14}{14}$

ステップ 1.2

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{x^{2}}{7} + \frac{y^{2}}{2} = 1$

ステップ 2

楕円の形です。この形を利用して、楕円の長軸と短軸、および中心を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

ステップ 3

この楕円の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $a$ は楕円の長軸の半径を、 $b$ は楕円の短軸の半径を、 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点からのy補正値を表します。

$a = \sqrt{7}$

$b = \sqrt{2}$

$k = 0$

$h = 0$

ステップ 4

楕円の中心は $(h, k)$ の形に従います。 $h$ と $k$ の値に代入します。

$(0, 0)$

ステップ 5

中心から焦点までの距離 $c$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して楕円の中心から焦点までの距離を求めます。

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

ステップ 5.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\sqrt{{(\sqrt{7})}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

${\sqrt{7}}^{2}$ を $7$ に書き換えます。

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ステップ 5.3.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{7}$ を $7^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{7^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(\sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{7^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{7^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{7^{1} - {(\sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.5

指数を求めます。

$\sqrt{7 - {(\sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 5.3.2

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 5.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{7 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 5.3.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{7 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 5.3.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{7 - 2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.3.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{7 - 2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.3.2.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{7 - 2^{1}}$

ステップ 5.3.2.5

指数を求めます。

$\sqrt{7 - 1 \cdot 2}$

ステップ 5.3.3

式を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\sqrt{7 - 2}$

ステップ 5.3.3.2

$7$ から $2$ を引きます。

$\sqrt{5}$

ステップ 6

対頂点を求めます。

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ステップ 6.1

楕円の1番目の頂点は、 $a$ を $h$ に加えることで求められます。

$(h + a, k)$

ステップ 6.2

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0 + \sqrt{7}, 0)$

ステップ 6.3

簡約します。

$(\sqrt{7}, 0)$

ステップ 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

ステップ 6.5

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0 - (\sqrt{7}), 0)$

ステップ 6.6

簡約します。

$(- \sqrt{7}, 0)$

ステップ 6.7

楕円には2つの頂点があります。

${Vertex}_{1}$ : $(\sqrt{7}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \sqrt{7}, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(\sqrt{7}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \sqrt{7}, 0)$

ステップ 7

焦点を求めます。

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ステップ 7.1

楕円の1番目の焦点は、 $c$ を $h$ に加えることで求められます。

$(h + c, k)$

ステップ 7.2

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0 + \sqrt{5}, 0)$

ステップ 7.3

簡約します。

$(\sqrt{5}, 0)$

ステップ 7.4

楕円の2番目の焦点は、 $h$ から $c$ を引くことで求められます。

$(h - c, k)$

ステップ 7.5

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0 - (\sqrt{5}), 0)$

ステップ 7.6

簡約します。

$(- \sqrt{5}, 0)$

ステップ 7.7

楕円には2つの焦点があります。

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{5}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{5}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{5}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{5}, 0)$

ステップ 8

離心率を求めます。

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ステップ 8.1

次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

ステップ 8.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{7})}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}}}{\sqrt{7}}$

ステップ 8.3

簡約します。

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ステップ 8.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.1.1

${\sqrt{7}}^{2}$ を $7$ に書き換えます。

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ステップ 8.3.1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{7}$ を $7^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{7}}$

ステップ 8.3.1.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{7^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{7}}$

ステップ 8.3.1.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{7^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{7}}$

ステップ 8.3.1.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.1.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{7^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{7}}$

ステップ 8.3.1.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{7^{1} - {\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{7}}$

ステップ 8.3.1.1.5

指数を求めます。

$\frac{\sqrt{7 - {\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{7}}$

ステップ 8.3.1.2

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 8.3.1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{7 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sqrt{7}}$

ステップ 8.3.1.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{7 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sqrt{7}}$

ステップ 8.3.1.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{7 - 2^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{7}}$

ステップ 8.3.1.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.1.2.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{7 - 2^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{7}}$

ステップ 8.3.1.2.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{7 - 2^{1}}}{\sqrt{7}}$

ステップ 8.3.1.2.5

指数を求めます。

$\frac{\sqrt{7 - 1 \cdot 2}}{\sqrt{7}}$

ステップ 8.3.1.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{\sqrt{7 - 2}}{\sqrt{7}}$

ステップ 8.3.1.4

$7$ から $2$ を引きます。

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$

ステップ 8.3.2

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$ に $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$

ステップ 8.3.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 8.3.3.1

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$ に $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

ステップ 8.3.3.2

$\sqrt{7}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}$

ステップ 8.3.3.3

$\sqrt{7}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}$

ステップ 8.3.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

ステップ 8.3.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

ステップ 8.3.3.6

${\sqrt{7}}^{2}$ を $7$ に書き換えます。

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ステップ 8.3.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{7}$ を $7^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 8.3.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 8.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 8.3.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 8.3.3.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{1}}$

ステップ 8.3.3.6.5

指数を求めます。

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7}$

ステップ 8.3.4

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.4.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{\sqrt{5 \cdot 7}}{7}$

ステップ 8.3.4.2

$5$ に $7$ をかけます。

$\frac{\sqrt{35}}{7}$

ステップ 9

これらの値は楕円をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(\sqrt{7}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \sqrt{7}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{5}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{5}, 0)$

偏心： $\frac{\sqrt{35}}{7}$

ステップ 10

微分積分学準備 例

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