微分積分学準備例

$\sum_{k = 1}^{8} 7 {(\frac{1}{10})}^{k}$

ステップ 1

$a$ が第1項、 $r$ が連続する項の間の比の時、有限等比級数の和は公式 $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ を利用して求められます。

ステップ 2

公式 $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ に代入し簡約することで、連続する項の比を求めます。

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ステップ 2.1

$a_{k}$ と $a_{k + 1}$ を $r$ の公式に代入します。

$r = \frac{7 {(\frac{1}{10})}^{k + 1}}{7 {(\frac{1}{10})}^{k}}$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

$7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.1

共通因数を約分します。

$r = \frac{7 {(\frac{1}{10})}^{k + 1}}{7 {(\frac{1}{10})}^{k}}$

ステップ 2.2.1.2

式を書き換えます。

$r = \frac{{(\frac{1}{10})}^{k + 1}}{{(\frac{1}{10})}^{k}}$

ステップ 2.2.2

${(\frac{1}{10})}^{k + 1}$ と ${(\frac{1}{10})}^{k}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.1

${(\frac{1}{10})}^{k}$ を ${(\frac{1}{10})}^{k + 1}$ で因数分解します。

$r = \frac{{(\frac{1}{10})}^{k} \frac{1}{10}}{{(\frac{1}{10})}^{k}}$

ステップ 2.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.2.1

$1$ を掛けます。

$r = \frac{{(\frac{1}{10})}^{k} \frac{1}{10}}{{(\frac{1}{10})}^{k} \cdot 1}$

ステップ 2.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$r = \frac{{(\frac{1}{10})}^{k} \frac{1}{10}}{{(\frac{1}{10})}^{k} \cdot 1}$

ステップ 2.2.2.2.3

式を書き換えます。

$r = \frac{\frac{1}{10}}{1}$

ステップ 2.2.2.2.4

$\frac{1}{10}$ を $1$ で割ります。

$r = \frac{1}{10}$

ステップ 3

下界に代入し簡約することで級数の第1項を求めます。

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ステップ 3.1

$k$ の $1$ を $7 {(\frac{1}{10})}^{k}$ に代入します。

$a = 7 {(\frac{1}{10})}^{1}$

ステップ 3.2

簡約します。

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ステップ 3.2.1

簡約します。

$a = 7 (\frac{1}{10})$

ステップ 3.2.2

$7$ と $\frac{1}{10}$ をまとめます。

$a = \frac{7}{10}$

ステップ 4

比、第1項、および項数の値を和の公式に代入します。

$\frac{7}{10} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{10})}^{8}}{1 - \frac{1}{10}}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $10$ .

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ステップ 5.1.1

$\frac{1 - {(\frac{1}{10})}^{8}}{1 - \frac{1}{10}}$ に $\frac{10}{10}$ をかけます。

$\frac{7}{10} (\frac{10}{10} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{10})}^{8}}{1 - \frac{1}{10}})$

ステップ 5.1.2

まとめる。

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 (1 - {(\frac{1}{10})}^{8})}{10 (1 - \frac{1}{10})}$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 \cdot 1 + 10 (- {(\frac{1}{10})}^{8})}{10 \cdot 1 + 10 (- \frac{1}{10})}$

ステップ 5.3

$10$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1

$- \frac{1}{10}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 \cdot 1 + 10 (- {(\frac{1}{10})}^{8})}{10 \cdot 1 + 10 (\frac{- 1}{10})}$

ステップ 5.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 \cdot 1 + 10 (- {(\frac{1}{10})}^{8})}{10 \cdot 1 + 10 (\frac{- 1}{10})}$

ステップ 5.3.3

式を書き換えます。

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 \cdot 1 + 10 (- {(\frac{1}{10})}^{8})}{10 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.4

分子を簡約します。

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ステップ 5.4.1

$10$ に $1$ をかけます。

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 + 10 (- {(\frac{1}{10})}^{8})}{10 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.4.2

積の法則を $\frac{1}{10}$ に当てはめます。

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 + 10 (- \frac{1^{8}}{10^{8}})}{10 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.4.3

$10$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.3.1

$- \frac{1^{8}}{10^{8}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 + 10 \frac{- 1^{8}}{10^{8}}}{10 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.4.3.2

$10$ を $10^{8}$ で因数分解します。

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 + 10 \frac{- 1^{8}}{10 \cdot 10^{7}}}{10 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.4.3.3

共通因数を約分します。

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 + 10 \frac{- 1^{8}}{10 \cdot 10^{7}}}{10 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.4.3.4

式を書き換えます。

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 + \frac{- 1^{8}}{10^{7}}}{10 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.4.4

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 + \frac{- 1 \cdot 1}{10^{7}}}{10 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.4.5

$10$ を $7$ 乗します。

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 + \frac{- 1 \cdot 1}{10000000}}{10 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.4.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 + \frac{- 1}{10000000}}{10 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.4.7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 - \frac{1}{10000000}}{10 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.4.8

$10$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{10000000}{10000000}$ を掛けます。

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 \cdot \frac{10000000}{10000000} - \frac{1}{10000000}}{10 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.4.9

$10$ と $\frac{10000000}{10000000}$ をまとめます。

$\frac{7}{10} \cdot \frac{\frac{10 \cdot 10000000}{10000000} - \frac{1}{10000000}}{10 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.4.10

公分母の分子をまとめます。

$\frac{7}{10} \cdot \frac{\frac{10 \cdot 10000000 - 1}{10000000}}{10 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.4.11

分子を簡約します。

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ステップ 5.4.11.1

$10$ に $10000000$ をかけます。

$\frac{7}{10} \cdot \frac{\frac{100000000 - 1}{10000000}}{10 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.4.11.2

$100000000$ から $1$ を引きます。

$\frac{7}{10} \cdot \frac{\frac{99999999}{10000000}}{10 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.5

分母を簡約します。

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ステップ 5.5.1

$10$ に $1$ をかけます。

$\frac{7}{10} \cdot \frac{\frac{99999999}{10000000}}{10 - 1}$

ステップ 5.5.2

$10$ から $1$ を引きます。

$\frac{7}{10} \cdot \frac{\frac{99999999}{10000000}}{9}$

ステップ 5.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{7}{10} (\frac{99999999}{10000000} \cdot \frac{1}{9})$

ステップ 5.7

$9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.7.1

$9$ を $99999999$ で因数分解します。

$\frac{7}{10} (\frac{9 (11111111)}{10000000} \cdot \frac{1}{9})$

ステップ 5.7.2

共通因数を約分します。

$\frac{7}{10} (\frac{9 \cdot 11111111}{10000000} \cdot \frac{1}{9})$

ステップ 5.7.3

式を書き換えます。

$\frac{7}{10} \cdot \frac{11111111}{10000000}$

ステップ 5.8

$\frac{7}{10} \cdot \frac{11111111}{10000000}$ を掛けます。

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ステップ 5.8.1

$\frac{7}{10}$ に $\frac{11111111}{10000000}$ をかけます。

$\frac{7 \cdot 11111111}{10 \cdot 10000000}$

ステップ 5.8.2

$7$ に $11111111$ をかけます。

$\frac{77777777}{10 \cdot 10000000}$

ステップ 5.8.3

$10$ に $10000000$ をかけます。

$\frac{77777777}{100000000}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{77777777}{100000000}$

10進法形式：

$0.\overline{7}$

微分積分学準備 例

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