微分積分学準備例

$\sum_{k = 1}^{8} - 3 {(- \frac{3}{5})}^{k - 1}$

ステップ 1

$a$ が第1項、 $r$ が連続する項の間の比の時、有限等比級数の和は公式 $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ を利用して求められます。

ステップ 2

公式 $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ に代入し簡約することで、連続する項の比を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$a_{k}$ と $a_{k + 1}$ を $r$ の公式に代入します。

$r = \frac{- 3 {(- \frac{3}{5})}^{k + 1 - 1}}{- 3 {(- \frac{3}{5})}^{k - 1}}$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

$- 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

共通因数を約分します。

$r = \frac{- 3 {(- \frac{3}{5})}^{k + 1 - 1}}{- 3 {(- \frac{3}{5})}^{k - 1}}$

ステップ 2.2.1.2

式を書き換えます。

$r = \frac{{(- \frac{3}{5})}^{k + 1 - 1}}{{(- \frac{3}{5})}^{k - 1}}$

ステップ 2.2.2

${(- \frac{3}{5})}^{k + 1 - 1}$ と ${(- \frac{3}{5})}^{k - 1}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.1

${(- \frac{3}{5})}^{k - 1}$ を ${(- \frac{3}{5})}^{k + 1 - 1}$ で因数分解します。

$r = \frac{{(- \frac{3}{5})}^{k - 1} {(- \frac{3}{5})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- \frac{3}{5})}^{k - 1}}$

ステップ 2.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.2.1

$1$ を掛けます。

$r = \frac{{(- \frac{3}{5})}^{k - 1} {(- \frac{3}{5})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- \frac{3}{5})}^{k - 1} \cdot 1}$

ステップ 2.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$r = \frac{{(- \frac{3}{5})}^{k - 1} {(- \frac{3}{5})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- \frac{3}{5})}^{k - 1} \cdot 1}$

ステップ 2.2.2.2.3

式を書き換えます。

$r = \frac{{(- \frac{3}{5})}^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

ステップ 2.2.2.2.4

${(- \frac{3}{5})}^{k + 0 - (k - 1)}$ を $1$ で割ります。

$r = {(- \frac{3}{5})}^{k + 0 - (k - 1)}$

ステップ 2.2.3

$k$ と $0$ をたし算します。

$r = {(- \frac{3}{5})}^{k - (k - 1)}$

ステップ 2.2.4

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.4.1

分配則を当てはめます。

$r = {(- \frac{3}{5})}^{k - k - - 1}$

ステップ 2.2.4.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$r = {(- \frac{3}{5})}^{k - k + 1}$

ステップ 2.2.5

$k$ から $k$ を引きます。

$r = {(- \frac{3}{5})}^{0 + 1}$

ステップ 2.2.6

$0$ と $1$ をたし算します。

$r = {(- \frac{3}{5})}^{1}$

ステップ 2.2.7

簡約します。

$r = - \frac{3}{5}$

ステップ 3

下界に代入し簡約することで級数の第1項を求めます。

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ステップ 3.1

$k$ の $1$ を $- 3 {(- \frac{3}{5})}^{k - 1}$ に代入します。

$a = - 3 {(- \frac{3}{5})}^{1 - 1}$

ステップ 3.2

簡約します。

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ステップ 3.2.1

$1$ から $1$ を引きます。

$a = - 3 {(- \frac{3}{5})}^{0}$

ステップ 3.2.2

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 3.2.2.1

積の法則を $- \frac{3}{5}$ に当てはめます。

$a = - 3 ({(- 1)}^{0} {(\frac{3}{5})}^{0})$

ステップ 3.2.2.2

積の法則を $\frac{3}{5}$ に当てはめます。

$a = - 3 ({(- 1)}^{0} \frac{3^{0}}{5^{0}})$

ステップ 3.2.3

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$a = - 3 (1 \frac{3^{0}}{5^{0}})$

ステップ 3.2.4

$\frac{3^{0}}{5^{0}}$ に $1$ をかけます。

$a = - 3 \frac{3^{0}}{5^{0}}$

ステップ 3.2.5

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$a = - 3 \frac{1}{5^{0}}$

ステップ 3.2.6

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$a = - 3 (\frac{1}{1})$

ステップ 3.2.7

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.7.1

共通因数を約分します。

$a = - 3 (\frac{1}{1})$

ステップ 3.2.7.2

式を書き換えます。

$a = - 3 \cdot 1$

ステップ 3.2.8

$- 3$ に $1$ をかけます。

$a = - 3$

ステップ 4

比、第1項、および項数の値を和の公式に代入します。

$- 3 \frac{1 - {(- \frac{3}{5})}^{8}}{1 - - \frac{3}{5}}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 5.1.1.1

積の法則を $- \frac{3}{5}$ に当てはめます。

$- 3 \frac{1 - ({(- 1)}^{8} {(\frac{3}{5})}^{8})}{1 - - \frac{3}{5}}$

ステップ 5.1.1.2

積の法則を $\frac{3}{5}$ に当てはめます。

$- 3 \frac{1 - ({(- 1)}^{8} \frac{3^{8}}{5^{8}})}{1 - - \frac{3}{5}}$

ステップ 5.1.2

指数を足して $- 1$ に ${(- 1)}^{8}$ を掛けます。

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ステップ 5.1.2.1

${(- 1)}^{8}$ を移動させます。

$- 3 \frac{1 + {(- 1)}^{8} \cdot - 1 \frac{3^{8}}{5^{8}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

ステップ 5.1.2.2

${(- 1)}^{8}$ に $- 1$ をかけます。

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ステップ 5.1.2.2.1

$- 1$ を $1$ 乗します。

$- 3 \frac{1 + {(- 1)}^{8} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{3^{8}}{5^{8}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

ステップ 5.1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 3 \frac{1 + {(- 1)}^{8 + 1} \frac{3^{8}}{5^{8}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

ステップ 5.1.2.3

$8$ と $1$ をたし算します。

$- 3 \frac{1 + {(- 1)}^{9} \frac{3^{8}}{5^{8}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

ステップ 5.1.3

$- 1$ を $9$ 乗します。

$- 3 \frac{1 - \frac{3^{8}}{5^{8}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

ステップ 5.1.4

$3$ を $8$ 乗します。

$- 3 \frac{1 - \frac{6561}{5^{8}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

ステップ 5.1.5

$5$ を $8$ 乗します。

$- 3 \frac{1 - \frac{6561}{390625}}{1 - - \frac{3}{5}}$

ステップ 5.1.6

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$- 3 \frac{\frac{390625}{390625} - \frac{6561}{390625}}{1 - - \frac{3}{5}}$

ステップ 5.1.7

公分母の分子をまとめます。

$- 3 \frac{\frac{390625 - 6561}{390625}}{1 - - \frac{3}{5}}$

ステップ 5.1.8

$390625$ から $6561$ を引きます。

$- 3 \frac{\frac{384064}{390625}}{1 - - \frac{3}{5}}$

ステップ 5.2

分母を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$- - \frac{3}{5}$ を掛けます。

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ステップ 5.2.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- 3 \frac{\frac{384064}{390625}}{1 + 1 (\frac{3}{5})}$

ステップ 5.2.1.2

$\frac{3}{5}$ に $1$ をかけます。

$- 3 \frac{\frac{384064}{390625}}{1 + \frac{3}{5}}$

ステップ 5.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$- 3 \frac{\frac{384064}{390625}}{\frac{5}{5} + \frac{3}{5}}$

ステップ 5.2.3

公分母の分子をまとめます。

$- 3 \frac{\frac{384064}{390625}}{\frac{5 + 3}{5}}$

ステップ 5.2.4

$5$ と $3$ をたし算します。

$- 3 \frac{\frac{384064}{390625}}{\frac{8}{5}}$

ステップ 5.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$- 3 (\frac{384064}{390625} \cdot \frac{5}{8})$

ステップ 5.4

$8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.1

$8$ を $384064$ で因数分解します。

$- 3 (\frac{8 (48008)}{390625} \cdot \frac{5}{8})$

ステップ 5.4.2

共通因数を約分します。

$- 3 (\frac{8 \cdot 48008}{390625} \cdot \frac{5}{8})$

ステップ 5.4.3

式を書き換えます。

$- 3 (\frac{48008}{390625} \cdot 5)$

ステップ 5.5

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$5$ を $390625$ で因数分解します。

$- 3 (\frac{48008}{5 (78125)} \cdot 5)$

ステップ 5.5.2

共通因数を約分します。

$- 3 (\frac{48008}{5 \cdot 78125} \cdot 5)$

ステップ 5.5.3

式を書き換えます。

$- 3 (\frac{48008}{78125})$

ステップ 5.6

$- 3 (\frac{48008}{78125})$ を掛けます。

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ステップ 5.6.1

$- 3$ と $\frac{48008}{78125}$ をまとめます。

$\frac{- 3 \cdot 48008}{78125}$

ステップ 5.6.2

$- 3$ に $48008$ をかけます。

$\frac{- 144024}{78125}$

ステップ 5.7

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{144024}{78125}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{144024}{78125}$

10進法形式：

$- 1.8435072$

帯分数形：

$- 1 \frac{65899}{78125}$

微分積分学準備 例

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