微分積分学準備例

$\sum_{k = 2}^{32} (9) {(- 1)}^{k - 1}$

ステップ 1

$a$ が第1項、 $r$ が連続する項の間の比の時、有限等比級数の和は公式 $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ を利用して求められます。

ステップ 2

公式 $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ に代入し簡約することで、連続する項の比を求めます。

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ステップ 2.1

$a_{k}$ と $a_{k + 1}$ を $r$ の公式に代入します。

$r = \frac{9 {(- 1)}^{k + 1 - 1}}{9 {(- 1)}^{k - 1}}$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

$9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.1

共通因数を約分します。

$r = \frac{9 {(- 1)}^{k + 1 - 1}}{9 {(- 1)}^{k - 1}}$

ステップ 2.2.1.2

式を書き換えます。

$r = \frac{{(- 1)}^{k + 1 - 1}}{{(- 1)}^{k - 1}}$

ステップ 2.2.2

${(- 1)}^{k + 1 - 1}$ と ${(- 1)}^{k - 1}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.1

${(- 1)}^{k - 1}$ を ${(- 1)}^{k + 1 - 1}$ で因数分解します。

$r = \frac{{(- 1)}^{k - 1} {(- 1)}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- 1)}^{k - 1}}$

ステップ 2.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.2.1

$1$ を掛けます。

$r = \frac{{(- 1)}^{k - 1} {(- 1)}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- 1)}^{k - 1} \cdot 1}$

ステップ 2.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$r = \frac{{(- 1)}^{k - 1} {(- 1)}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- 1)}^{k - 1} \cdot 1}$

ステップ 2.2.2.2.3

式を書き換えます。

$r = \frac{{(- 1)}^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

ステップ 2.2.2.2.4

${(- 1)}^{k + 0 - (k - 1)}$ を $1$ で割ります。

$r = {(- 1)}^{k + 0 - (k - 1)}$

ステップ 2.2.3

$k$ と $0$ をたし算します。

$r = {(- 1)}^{k - (k - 1)}$

ステップ 2.2.4

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.4.1

分配則を当てはめます。

$r = {(- 1)}^{k - k - - 1}$

ステップ 2.2.4.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$r = {(- 1)}^{k - k + 1}$

ステップ 2.2.5

$k$ から $k$ を引きます。

$r = {(- 1)}^{0 + 1}$

ステップ 2.2.6

$0$ と $1$ をたし算します。

$r = {(- 1)}^{1}$

ステップ 2.2.7

指数を求めます。

$r = - 1$

ステップ 3

下界に代入し簡約することで級数の第1項を求めます。

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ステップ 3.1

$k$ の $2$ を $(9) {(- 1)}^{k - 1}$ に代入します。

$a = 9 {(- 1)}^{2 - 1}$

ステップ 3.2

簡約します。

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ステップ 3.2.1

$2$ から $1$ を引きます。

$a = 9 {(- 1)}^{1}$

ステップ 3.2.2

指数を求めます。

$a = 9 \cdot - 1$

ステップ 3.2.3

$9$ に $- 1$ をかけます。

$a = - 9$

ステップ 4

比、第1項、および項数の値を和の公式に代入します。

$- 9 \frac{1 - {(- 1)}^{31}}{1 - - 1}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.1.1

指数を足して $- 1$ に ${(- 1)}^{31}$ を掛けます。

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ステップ 5.1.1.1

$- 1$ に ${(- 1)}^{31}$ をかけます。

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ステップ 5.1.1.1.1

$- 1$ を $1$ 乗します。

$- 9 \frac{1 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{31}}{1 - - 1}$

ステップ 5.1.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 9 \frac{1 + {(- 1)}^{1 + 31}}{1 - - 1}$

ステップ 5.1.1.2

$1$ と $31$ をたし算します。

$- 9 \frac{1 + {(- 1)}^{32}}{1 - - 1}$

ステップ 5.1.2

$- 1$ を $32$ 乗します。

$- 9 \frac{1 + 1}{1 - - 1}$

ステップ 5.1.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$- 9 \frac{2}{1 - - 1}$

ステップ 5.2

分母を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- 9 \frac{2}{1 + 1}$

ステップ 5.2.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$- 9 (\frac{2}{2})$

ステップ 5.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1

共通因数を約分します。

$- 9 (\frac{2}{2})$

ステップ 5.3.2

式を書き換えます。

$- 9 \cdot 1$

ステップ 5.4

$- 9$ に $1$ をかけます。

$- 9$

微分積分学準備 例

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