微分積分学準備例

$\sum_{n = 0}^{50} 5 {(\frac{3}{5})}^{n}$

ステップ 1

$a$ が第1項、 $r$ が連続する項の間の比の時、有限等比級数の和は公式 $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ を利用して求められます。

ステップ 2

公式 $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ に代入し簡約することで、連続する項の比を求めます。

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ステップ 2.1

$a_{n}$ と $a_{n + 1}$ を $r$ の公式に代入します。

$r = \frac{5 {(\frac{3}{5})}^{n + 1}}{5 {(\frac{3}{5})}^{n}}$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.1

共通因数を約分します。

$r = \frac{5 {(\frac{3}{5})}^{n + 1}}{5 {(\frac{3}{5})}^{n}}$

ステップ 2.2.1.2

式を書き換えます。

$r = \frac{{(\frac{3}{5})}^{n + 1}}{{(\frac{3}{5})}^{n}}$

ステップ 2.2.2

${(\frac{3}{5})}^{n + 1}$ と ${(\frac{3}{5})}^{n}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.1

${(\frac{3}{5})}^{n}$ を ${(\frac{3}{5})}^{n + 1}$ で因数分解します。

$r = \frac{{(\frac{3}{5})}^{n} \frac{3}{5}}{{(\frac{3}{5})}^{n}}$

ステップ 2.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.2.1

$1$ を掛けます。

$r = \frac{{(\frac{3}{5})}^{n} \frac{3}{5}}{{(\frac{3}{5})}^{n} \cdot 1}$

ステップ 2.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$r = \frac{{(\frac{3}{5})}^{n} \frac{3}{5}}{{(\frac{3}{5})}^{n} \cdot 1}$

ステップ 2.2.2.2.3

式を書き換えます。

$r = \frac{\frac{3}{5}}{1}$

ステップ 2.2.2.2.4

$\frac{3}{5}$ を $1$ で割ります。

$r = \frac{3}{5}$

ステップ 3

下界に代入し簡約することで級数の第1項を求めます。

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ステップ 3.1

$n$ の $0$ を $5 {(\frac{3}{5})}^{n}$ に代入します。

$a = 5 {(\frac{3}{5})}^{0}$

ステップ 3.2

簡約します。

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ステップ 3.2.1

積の法則を $\frac{3}{5}$ に当てはめます。

$a = 5 \frac{3^{0}}{5^{0}}$

ステップ 3.2.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$a = 5 \frac{1}{5^{0}}$

ステップ 3.2.3

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$a = 5 (\frac{1}{1})$

ステップ 3.2.4

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.4.1

共通因数を約分します。

$a = 5 (\frac{1}{1})$

ステップ 3.2.4.2

式を書き換えます。

$a = 5 \cdot 1$

ステップ 3.2.5

$5$ に $1$ をかけます。

$a = 5$

ステップ 4

比、第1項、および項数の値を和の公式に代入します。

$5 \frac{1 - {(\frac{3}{5})}^{51}}{1 - \frac{3}{5}}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $5$ .

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ステップ 5.1.1

$\frac{1 - {(\frac{3}{5})}^{51}}{1 - \frac{3}{5}}$ に $\frac{5}{5}$ をかけます。

$5 (\frac{5}{5} \cdot \frac{1 - {(\frac{3}{5})}^{51}}{1 - \frac{3}{5}})$

ステップ 5.1.2

まとめる。

$5 \frac{5 (1 - {(\frac{3}{5})}^{51})}{5 (1 - \frac{3}{5})}$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$5 \frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{3}{5})}^{51})}{5 \cdot 1 + 5 (- \frac{3}{5})}$

ステップ 5.3

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1

$- \frac{3}{5}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$5 \frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{3}{5})}^{51})}{5 \cdot 1 + 5 (\frac{- 3}{5})}$

ステップ 5.3.2

共通因数を約分します。

$5 \frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{3}{5})}^{51})}{5 \cdot 1 + 5 (\frac{- 3}{5})}$

ステップ 5.3.3

式を書き換えます。

$5 \frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{3}{5})}^{51})}{5 \cdot 1 - 3}$

ステップ 5.4

分子を簡約します。

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ステップ 5.4.1

$5$ に $1$ をかけます。

$5 \frac{5 + 5 (- {(\frac{3}{5})}^{51})}{5 \cdot 1 - 3}$

ステップ 5.4.2

積の法則を $\frac{3}{5}$ に当てはめます。

$5 \frac{5 + 5 (- \frac{3^{51}}{5^{51}})}{5 \cdot 1 - 3}$

ステップ 5.4.3

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.3.1

$- \frac{3^{51}}{5^{51}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$5 \frac{5 + 5 \frac{- 3^{51}}{5^{51}}}{5 \cdot 1 - 3}$

ステップ 5.4.3.2

$5$ を $5^{51}$ で因数分解します。

$5 \frac{5 + 5 \frac{- 3^{51}}{5 \cdot 5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

ステップ 5.4.3.3

共通因数を約分します。

$5 \frac{5 + 5 \frac{- 3^{51}}{5 \cdot 5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

ステップ 5.4.3.4

式を書き換えます。

$5 \frac{5 + \frac{- 3^{51}}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

ステップ 5.4.4

$3$ を $51$ 乗します。

$5 \frac{5 + \frac{- 1 \cdot 2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

ステップ 5.4.5

$- 1$ に $2153693963075560000000000$ をかけます。

$5 \frac{5 + \frac{- 2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

ステップ 5.4.6

分数の前に負数を移動させます。

$5 \frac{5 - \frac{2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

ステップ 5.4.7

$5$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5^{50}}{5^{50}}$ を掛けます。

$5 \frac{5 \cdot \frac{5^{50}}{5^{50}} - \frac{2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

ステップ 5.4.8

$5$ と $\frac{5^{50}}{5^{50}}$ をまとめます。

$5 \frac{\frac{5 \cdot 5^{50}}{5^{50}} - \frac{2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

ステップ 5.4.9

公分母の分子をまとめます。

$5 \frac{\frac{5 \cdot 5^{50} - 2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

ステップ 5.4.10

指数を足して $5$ に $5^{50}$ を掛けます。

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ステップ 5.4.10.1

$5$ に $5^{50}$ をかけます。

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ステップ 5.4.10.1.1

$5$ を $1$ 乗します。

$5 \frac{\frac{5^{1} \cdot 5^{50} - 2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

ステップ 5.4.10.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$5 \frac{\frac{5^{1 + 50} - 2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

ステップ 5.4.10.2

$1$ と $50$ をたし算します。

$5 \frac{\frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

ステップ 5.5

分母を簡約します。

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ステップ 5.5.1

$5$ に $1$ をかけます。

$5 \frac{\frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 - 3}$

ステップ 5.5.2

$5$ から $3$ を引きます。

$5 \frac{\frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{5^{50}}}{2}$

ステップ 5.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$5 (\frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{5^{50}} \cdot \frac{1}{2})$

ステップ 5.7

$\frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{5^{50}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$5 \frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{5^{50} \cdot 2}$

ステップ 5.8

$2$ を $5^{50}$ の左に移動させます。

$5 \frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{2 \cdot 5^{50}}$

ステップ 5.9

$5$ と $\frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{2 \cdot 5^{50}}$ をまとめます。

$\frac{5 (5^{51} - 2153693963075560000000000)}{2 \cdot 5^{50}}$

ステップ 5.10

共通因数を約分します。

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ステップ 5.10.1

$5$ を $2 \cdot 5^{50}$ で因数分解します。

$\frac{5 (5^{51} - 2153693963075560000000000)}{5 (2 \cdot 5^{49})}$

ステップ 5.10.2

共通因数を約分します。

$\frac{5 (5^{51} - 2153693963075560000000000)}{5 (2 \cdot 5^{49})}$

ステップ 5.10.3

式を書き換えます。

$\frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{2 \cdot 5^{49}}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{2 \cdot 5^{49}}$

10進法形式：

$12.49999999 \dots$

微分積分学準備 例

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