微分積分学準備例

$\sum_{n = 1}^{120} 4 - \frac{1}{3} n$

ステップ 1

総和を簡約します。

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ステップ 1.1

$n$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$4 - \frac{n}{3}$

ステップ 1.2

総和を書き換えます。

$\sum_{n = 1}^{120} 4 - \frac{n}{3}$

$\sum_{n = 1}^{120} 4 - \frac{n}{3}$

ステップ 2

総和の法則に合う小さい総和に総和を分割します。

$\sum_{n = 1}^{120} 4 - \frac{n}{3} = \sum_{n = 1}^{120} 4 + \sum_{n = 1}^{120} - \frac{n}{3}$

ステップ 3

$\sum_{n = 1}^{120} 4$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

定数の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

ステップ 3.2

値を公式に代入します。

$(4) (120)$

ステップ 3.3

$4$ に $120$ をかけます。

$480$

$480$

ステップ 4

$\sum_{n = 1}^{120} - \frac{n}{3}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

総和から因数 $- \frac{1}{3}$ をくくり出します。

$(- \frac{1}{3}) \sum_{n = 1}^{120} n$

ステップ 4.2

次数 $1$ をもつ多項式の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

ステップ 4.3

値を公式に代入して、必ず前の項を掛けます。

$(- \frac{1}{3}) (\frac{120 (120 + 1)}{2})$

ステップ 4.4

簡約します。

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ステップ 4.4.1

式を簡約します。

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ステップ 4.4.1.1

$120$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{120 \cdot 121}{2}$

ステップ 4.4.1.2

$120$ に $121$ をかけます。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{14520}{2}$

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{14520}{2}$

ステップ 4.4.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.4.2.1

$- \frac{1}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{14520}{2}$

ステップ 4.4.2.2

$3$ を $14520$ で因数分解します。

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{3 (4840)}{2}$

ステップ 4.4.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 4840}{2}$

ステップ 4.4.2.4

式を書き換えます。

$- 1 (\frac{4840}{2})$

$- 1 (\frac{4840}{2})$

ステップ 4.4.3

式を簡約します。

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ステップ 4.4.3.1

$4840$ を $2$ で割ります。

$- 1 \cdot 2420$

ステップ 4.4.3.2

$- 1$ に $2420$ をかけます。

$- 2420$

$- 2420$

$- 2420$

$- 2420$

ステップ 5

合計した結果をたします。

$480 - 2420$

ステップ 6

$480$ から $2420$ を引きます。

$- 1940$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$