微分積分学準備例

$\sum_{k = 1}^{11} \frac{1}{4} + {(- 3)}^{k - 1}$

ステップ 1

総和の法則に合う小さい総和に総和を分割します。

$\sum_{k = 1}^{11} \frac{1}{4} + {(- 3)}^{k - 1} = \sum_{k = 1}^{11} \frac{1}{4} + \sum_{k = 1}^{11} {(- 3)}^{k - 1}$

ステップ 2

$\sum_{k = 1}^{11} \frac{1}{4}$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

定数の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

ステップ 2.2

値を公式に代入します。

$(\frac{1}{4}) (11)$

ステップ 2.3

$\frac{1}{4}$ と $11$ をまとめます。

$\frac{11}{4}$

ステップ 3

$\sum_{k = 1}^{11} {(- 3)}^{k - 1}$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$a$ が第1項、 $r$ が連続する項の間の比の時、有限等比級数の和は公式 $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ を利用して求められます。

ステップ 3.2

公式 $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ に代入し簡約することで、連続する項の比を求めます。

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ステップ 3.2.1

$a_{k}$ と $a_{k + 1}$ を $r$ の公式に代入します。

$r = \frac{{(- 3)}^{k + 1 - 1}}{{(- 3)}^{k - 1}}$

ステップ 3.2.2

簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

${(- 3)}^{k + 1 - 1}$ と ${(- 3)}^{k - 1}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.1

${(- 3)}^{k - 1}$ を ${(- 3)}^{k + 1 - 1}$ で因数分解します。

$r = \frac{{(- 3)}^{k - 1} {(- 3)}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- 3)}^{k - 1}}$

ステップ 3.2.2.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.2.1

$1$ を掛けます。

$r = \frac{{(- 3)}^{k - 1} {(- 3)}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- 3)}^{k - 1} \cdot 1}$

ステップ 3.2.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$r = \frac{{(- 3)}^{k - 1} {(- 3)}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- 3)}^{k - 1} \cdot 1}$

ステップ 3.2.2.1.2.3

式を書き換えます。

$r = \frac{{(- 3)}^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

ステップ 3.2.2.1.2.4

${(- 3)}^{k + 0 - (k - 1)}$ を $1$ で割ります。

$r = {(- 3)}^{k + 0 - (k - 1)}$

ステップ 3.2.2.2

$k$ と $0$ をたし算します。

$r = {(- 3)}^{k - (k - 1)}$

ステップ 3.2.2.3

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.2.3.1

分配則を当てはめます。

$r = {(- 3)}^{k - k - - 1}$

ステップ 3.2.2.3.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$r = {(- 3)}^{k - k + 1}$

ステップ 3.2.2.4

$k$ から $k$ を引きます。

$r = {(- 3)}^{0 + 1}$

ステップ 3.2.2.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$r = {(- 3)}^{1}$

ステップ 3.2.2.6

指数を求めます。

$r = - 3$

ステップ 3.3

下界に代入し簡約することで級数の第1項を求めます。

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ステップ 3.3.1

$k$ の $1$ を ${(- 3)}^{k - 1}$ に代入します。

$a = {(- 3)}^{1 - 1}$

ステップ 3.3.2

簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$1$ から $1$ を引きます。

$a = {(- 3)}^{0}$

ステップ 3.3.2.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$a = 1$

ステップ 3.4

比、第1項、および項数の値を和の公式に代入します。

$1 \frac{1 - {(- 3)}^{11}}{1 - - 3}$

ステップ 3.5

簡約します。

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ステップ 3.5.1

$\frac{1 - {(- 3)}^{11}}{1 - - 3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - {(- 3)}^{11}}{1 - - 3}$

ステップ 3.5.2

分子を簡約します。

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ステップ 3.5.2.1

$- 3$ を $11$ 乗します。

$\frac{1 - - 177147}{1 - - 3}$

ステップ 3.5.2.2

$- 1$ に $- 177147$ をかけます。

$\frac{1 + 177147}{1 - - 3}$

ステップ 3.5.2.3

$1$ と $177147$ をたし算します。

$\frac{177148}{1 - - 3}$

ステップ 3.5.3

分母を簡約します。

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ステップ 3.5.3.1

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{177148}{1 + 3}$

ステップ 3.5.3.2

$1$ と $3$ をたし算します。

$\frac{177148}{4}$

ステップ 3.5.4

$177148$ を $4$ で割ります。

$44287$

ステップ 4

合計した結果をたします。

$\frac{11}{4} + 44287$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$44287$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\frac{11}{4} + 44287 \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 5.2

$44287$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\frac{11}{4} + \frac{44287 \cdot 4}{4}$

ステップ 5.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{11 + 44287 \cdot 4}{4}$

ステップ 5.4

分子を簡約します。

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ステップ 5.4.1

$44287$ に $4$ をかけます。

$\frac{11 + 177148}{4}$

ステップ 5.4.2

$11$ と $177148$ をたし算します。

$\frac{177159}{4}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{177159}{4}$

10進法形式：

$44289.75$

帯分数形：

$44289 \frac{3}{4}$

微分積分学準備 例

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