微分積分学準備例

$\sum_{k = 1}^{100} 9 + {(\frac{1}{2})}^{k - 1}$

ステップ 1

総和の法則に合う小さい総和に総和を分割します。

$\sum_{k = 1}^{100} 9 + {(\frac{1}{2})}^{k - 1} = \sum_{k = 1}^{100} 9 + \sum_{k = 1}^{100} {(\frac{1}{2})}^{k - 1}$

ステップ 2

$\sum_{k = 1}^{100} 9$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

定数の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

ステップ 2.2

値を公式に代入します。

$(9) (100)$

ステップ 2.3

$9$ に $100$ をかけます。

$900$

ステップ 3

$\sum_{k = 1}^{100} {(\frac{1}{2})}^{k - 1}$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$a$ が第1項、 $r$ が連続する項の間の比の時、有限等比級数の和は公式 $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ を利用して求められます。

ステップ 3.2

公式 $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ に代入し簡約することで、連続する項の比を求めます。

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ステップ 3.2.1

$a_{k}$ と $a_{k + 1}$ を $r$ の公式に代入します。

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k + 1 - 1}}{{(\frac{1}{2})}^{k - 1}}$

ステップ 3.2.2

簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

${(\frac{1}{2})}^{k + 1 - 1}$ と ${(\frac{1}{2})}^{k - 1}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.1

${(\frac{1}{2})}^{k - 1}$ を ${(\frac{1}{2})}^{k + 1 - 1}$ で因数分解します。

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k - 1} {(\frac{1}{2})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{1}{2})}^{k - 1}}$

ステップ 3.2.2.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.2.1

$1$ を掛けます。

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k - 1} {(\frac{1}{2})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{1}{2})}^{k - 1} \cdot 1}$

ステップ 3.2.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k - 1} {(\frac{1}{2})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{1}{2})}^{k - 1} \cdot 1}$

ステップ 3.2.2.1.2.3

式を書き換えます。

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

ステップ 3.2.2.1.2.4

${(\frac{1}{2})}^{k + 0 - (k - 1)}$ を $1$ で割ります。

$r = {(\frac{1}{2})}^{k + 0 - (k - 1)}$

ステップ 3.2.2.2

$k$ と $0$ をたし算します。

$r = {(\frac{1}{2})}^{k - (k - 1)}$

ステップ 3.2.2.3

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.2.3.1

分配則を当てはめます。

$r = {(\frac{1}{2})}^{k - k - - 1}$

ステップ 3.2.2.3.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$r = {(\frac{1}{2})}^{k - k + 1}$

ステップ 3.2.2.4

$k$ から $k$ を引きます。

$r = {(\frac{1}{2})}^{0 + 1}$

ステップ 3.2.2.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$r = {(\frac{1}{2})}^{1}$

ステップ 3.2.2.6

簡約します。

$r = \frac{1}{2}$

ステップ 3.3

下界に代入し簡約することで級数の第1項を求めます。

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ステップ 3.3.1

$k$ の $1$ を ${(\frac{1}{2})}^{k - 1}$ に代入します。

$a = {(\frac{1}{2})}^{1 - 1}$

ステップ 3.3.2

簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$1$ から $1$ を引きます。

$a = {(\frac{1}{2})}^{0}$

ステップ 3.3.2.2

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$a = \frac{1^{0}}{2^{0}}$

ステップ 3.3.2.3

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$a = \frac{1}{2^{0}}$

ステップ 3.3.2.4

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$a = \frac{1}{1}$

ステップ 3.3.2.5

$1$ を $1$ で割ります。

$a = 1$

ステップ 3.4

比、第1項、および項数の値を和の公式に代入します。

$1 \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{100}}{1 - \frac{1}{2}}$

ステップ 3.5

簡約します。

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ステップ 3.5.1

$\frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{100}}{1 - \frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{100}}{1 - \frac{1}{2}}$

ステップ 3.5.2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2$ .

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ステップ 3.5.2.1

$\frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{100}}{1 - \frac{1}{2}}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{2}{2} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{100}}{1 - \frac{1}{2}}$

ステップ 3.5.2.2

まとめる。

$\frac{2 (1 - {(\frac{1}{2})}^{100})}{2 (1 - \frac{1}{2})}$

ステップ 3.5.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{100})}{2 \cdot 1 + 2 (- \frac{1}{2})}$

ステップ 3.5.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.4.1

$- \frac{1}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{100})}{2 \cdot 1 + 2 (\frac{- 1}{2})}$

ステップ 3.5.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{100})}{2 \cdot 1 + 2 (\frac{- 1}{2})}$

ステップ 3.5.4.3

式を書き換えます。

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{100})}{2 \cdot 1 - 1}$

ステップ 3.5.5

分子を簡約します。

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ステップ 3.5.5.1

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{100})}{2 \cdot 1 - 1}$

ステップ 3.5.5.2

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$\frac{2 + 2 (- \frac{1^{100}}{2^{100}})}{2 \cdot 1 - 1}$

ステップ 3.5.5.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.5.3.1

$- \frac{1^{100}}{2^{100}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{2 + 2 \frac{- 1^{100}}{2^{100}}}{2 \cdot 1 - 1}$

ステップ 3.5.5.3.2

$2$ を $2^{100}$ で因数分解します。

$\frac{2 + 2 \frac{- 1^{100}}{2 \cdot 2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

ステップ 3.5.5.3.3

共通因数を約分します。

$\frac{2 + 2 \frac{- 1^{100}}{2 \cdot 2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

ステップ 3.5.5.3.4

式を書き換えます。

$\frac{2 + \frac{- 1^{100}}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

ステップ 3.5.5.4

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{2 + \frac{- 1 \cdot 1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

ステップ 3.5.5.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 + \frac{- 1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

ステップ 3.5.5.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{2 - \frac{1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

ステップ 3.5.5.7

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2^{99}}{2^{99}}$ を掛けます。

$\frac{2 \cdot \frac{2^{99}}{2^{99}} - \frac{1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

ステップ 3.5.5.8

$2$ と $\frac{2^{99}}{2^{99}}$ をまとめます。

$\frac{\frac{2 \cdot 2^{99}}{2^{99}} - \frac{1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

ステップ 3.5.5.9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{2 \cdot 2^{99} - 1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

ステップ 3.5.5.10

指数を足して $2$ に $2^{99}$ を掛けます。

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ステップ 3.5.5.10.1

$2$ に $2^{99}$ をかけます。

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ステップ 3.5.5.10.1.1

$2$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{2^{1} \cdot 2^{99} - 1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

ステップ 3.5.5.10.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{2^{1 + 99} - 1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

ステップ 3.5.5.10.2

$1$ と $99$ をたし算します。

$\frac{\frac{2^{100} - 1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

ステップ 3.5.6

分母を簡約します。

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ステップ 3.5.6.1

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{2^{100} - 1}{2^{99}}}{2 - 1}$

ステップ 3.5.6.2

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{\frac{2^{100} - 1}{2^{99}}}{1}$

ステップ 3.5.7

$\frac{2^{100} - 1}{2^{99}}$ を $1$ で割ります。

$\frac{2^{100} - 1}{2^{99}}$

ステップ 4

合計した結果をたします。

$900 + \frac{2^{100} - 1}{2^{99}}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$900$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2^{99}}{2^{99}}$ を掛けます。

$900 \cdot \frac{2^{99}}{2^{99}} + \frac{2^{100} - 1}{2^{99}}$

ステップ 5.2

$900$ と $\frac{2^{99}}{2^{99}}$ をまとめます。

$\frac{900 \cdot 2^{99}}{2^{99}} + \frac{2^{100} - 1}{2^{99}}$

ステップ 5.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{900 \cdot 2^{99} + 2^{100} - 1}{2^{99}}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{900 \cdot 2^{99} + 2^{100} - 1}{2^{99}}$

10進法形式：

$902$

微分積分学準備 例

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