微分積分学準備例

$\sum_{k = 1}^{10} 1 + {(- 1)}^{k}$

ステップ 1

総和の法則に合う小さい総和に総和を分割します。

$\sum_{k = 1}^{10} 1 + {(- 1)}^{k} = \sum_{k = 1}^{10} 1 + \sum_{k = 1}^{10} {(- 1)}^{k}$

ステップ 2

$\sum_{k = 1}^{10} 1$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

定数の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

ステップ 2.2

値を公式に代入します。

$(1) (10)$

ステップ 2.3

$10$ に $1$ をかけます。

$10$

ステップ 3

$\sum_{k = 1}^{10} {(- 1)}^{k}$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$a$ が第1項、 $r$ が連続する項の間の比の時、有限等比級数の和は公式 $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ を利用して求められます。

ステップ 3.2

公式 $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ に代入し簡約することで、連続する項の比を求めます。

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ステップ 3.2.1

$a_{k}$ と $a_{k + 1}$ を $r$ の公式に代入します。

$r = \frac{{(- 1)}^{k + 1}}{{(- 1)}^{k}}$

ステップ 3.2.2

${(- 1)}^{k + 1}$ と ${(- 1)}^{k}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1

${(- 1)}^{k}$ を ${(- 1)}^{k + 1}$ で因数分解します。

$r = \frac{{(- 1)}^{k} \cdot - 1}{{(- 1)}^{k}}$

ステップ 3.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.2.1

$1$ を掛けます。

$r = \frac{{(- 1)}^{k} \cdot - 1}{{(- 1)}^{k} \cdot 1}$

ステップ 3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$r = \frac{{(- 1)}^{k} \cdot - 1}{{(- 1)}^{k} \cdot 1}$

ステップ 3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$r = \frac{- 1}{1}$

ステップ 3.2.2.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$r = - 1$

ステップ 3.3

下界に代入し簡約することで級数の第1項を求めます。

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ステップ 3.3.1

$k$ の $1$ を ${(- 1)}^{k}$ に代入します。

$a = {(- 1)}^{1}$

ステップ 3.3.2

指数を求めます。

$a = - 1$

ステップ 3.4

比、第1項、および項数の値を和の公式に代入します。

$- \frac{1 - {(- 1)}^{10}}{1 - - 1}$

ステップ 3.5

簡約します。

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ステップ 3.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.5.1.1

指数を足して $- 1$ に ${(- 1)}^{10}$ を掛けます。

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ステップ 3.5.1.1.1

$- 1$ に ${(- 1)}^{10}$ をかけます。

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ステップ 3.5.1.1.1.1

$- 1$ を $1$ 乗します。

$- \frac{1 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{10}}{1 - - 1}$

ステップ 3.5.1.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{1 + {(- 1)}^{1 + 10}}{1 - - 1}$

ステップ 3.5.1.1.2

$1$ と $10$ をたし算します。

$- \frac{1 + {(- 1)}^{11}}{1 - - 1}$

ステップ 3.5.1.2

$- 1$ を $11$ 乗します。

$- \frac{1 - 1}{1 - - 1}$

ステップ 3.5.1.3

$1$ から $1$ を引きます。

$- \frac{0}{1 - - 1}$

ステップ 3.5.2

分母を簡約します。

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ステップ 3.5.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{0}{1 + 1}$

ステップ 3.5.2.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{0}{2}$

ステップ 3.5.3

$0$ を $2$ で割ります。

$- 0$

ステップ 3.5.4

$- 1$ に $0$ をかけます。

$0$

ステップ 4

合計した結果を足します。

$10 + 0$

ステップ 5

$10$ と $0$ をたし算します。

$10$

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