微分積分学準備例

$\sum_{k = 1}^{6} 5 {(\frac{9}{4})}^{k - 1}$

ステップ 1

$a$ が第1項、 $r$ が連続する項の間の比の時、有限等比級数の和は公式 $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ を利用して求められます。

ステップ 2

公式 $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ に代入し簡約することで、連続する項の比を求めます。

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ステップ 2.1

$a_{k}$ と $a_{k + 1}$ を $r$ の公式に代入します。

$r = \frac{5 {(\frac{9}{4})}^{k + 1 - 1}}{5 {(\frac{9}{4})}^{k - 1}}$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.1

共通因数を約分します。

$r = \frac{5 {(\frac{9}{4})}^{k + 1 - 1}}{5 {(\frac{9}{4})}^{k - 1}}$

ステップ 2.2.1.2

式を書き換えます。

$r = \frac{{(\frac{9}{4})}^{k + 1 - 1}}{{(\frac{9}{4})}^{k - 1}}$

ステップ 2.2.2

${(\frac{9}{4})}^{k + 1 - 1}$ と ${(\frac{9}{4})}^{k - 1}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.1

${(\frac{9}{4})}^{k - 1}$ を ${(\frac{9}{4})}^{k + 1 - 1}$ で因数分解します。

$r = \frac{{(\frac{9}{4})}^{k - 1} {(\frac{9}{4})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{9}{4})}^{k - 1}}$

ステップ 2.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.2.1

$1$ を掛けます。

$r = \frac{{(\frac{9}{4})}^{k - 1} {(\frac{9}{4})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{9}{4})}^{k - 1} \cdot 1}$

ステップ 2.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$r = \frac{{(\frac{9}{4})}^{k - 1} {(\frac{9}{4})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{9}{4})}^{k - 1} \cdot 1}$

ステップ 2.2.2.2.3

式を書き換えます。

$r = \frac{{(\frac{9}{4})}^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

ステップ 2.2.2.2.4

${(\frac{9}{4})}^{k + 0 - (k - 1)}$ を $1$ で割ります。

$r = {(\frac{9}{4})}^{k + 0 - (k - 1)}$

ステップ 2.2.3

$k$ と $0$ をたし算します。

$r = {(\frac{9}{4})}^{k - (k - 1)}$

ステップ 2.2.4

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.4.1

分配則を当てはめます。

$r = {(\frac{9}{4})}^{k - k - - 1}$

ステップ 2.2.4.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$r = {(\frac{9}{4})}^{k - k + 1}$

ステップ 2.2.5

$k$ から $k$ を引きます。

$r = {(\frac{9}{4})}^{0 + 1}$

ステップ 2.2.6

$0$ と $1$ をたし算します。

$r = {(\frac{9}{4})}^{1}$

ステップ 2.2.7

簡約します。

$r = \frac{9}{4}$

ステップ 3

下界に代入し簡約することで級数の第1項を求めます。

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ステップ 3.1

$k$ の $1$ を $5 {(\frac{9}{4})}^{k - 1}$ に代入します。

$a = 5 {(\frac{9}{4})}^{1 - 1}$

ステップ 3.2

簡約します。

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ステップ 3.2.1

$1$ から $1$ を引きます。

$a = 5 {(\frac{9}{4})}^{0}$

ステップ 3.2.2

積の法則を $\frac{9}{4}$ に当てはめます。

$a = 5 \frac{9^{0}}{4^{0}}$

ステップ 3.2.3

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$a = 5 \frac{1}{4^{0}}$

ステップ 3.2.4

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$a = 5 (\frac{1}{1})$

ステップ 3.2.5

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.5.1

共通因数を約分します。

$a = 5 (\frac{1}{1})$

ステップ 3.2.5.2

式を書き換えます。

$a = 5 \cdot 1$

ステップ 3.2.6

$5$ に $1$ をかけます。

$a = 5$

ステップ 4

比、第1項、および項数の値を和の公式に代入します。

$5 \frac{1 - {(\frac{9}{4})}^{6}}{1 - \frac{9}{4}}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $4$ .

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ステップ 5.1.1

$\frac{1 - {(\frac{9}{4})}^{6}}{1 - \frac{9}{4}}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$5 (\frac{4}{4} \cdot \frac{1 - {(\frac{9}{4})}^{6}}{1 - \frac{9}{4}})$

ステップ 5.1.2

まとめる。

$5 \frac{4 (1 - {(\frac{9}{4})}^{6})}{4 (1 - \frac{9}{4})}$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$5 \frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{9}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 + 4 (- \frac{9}{4})}$

ステップ 5.3

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1

$- \frac{9}{4}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$5 \frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{9}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 + 4 (\frac{- 9}{4})}$

ステップ 5.3.2

共通因数を約分します。

$5 \frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{9}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 + 4 (\frac{- 9}{4})}$

ステップ 5.3.3

式を書き換えます。

$5 \frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{9}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 - 9}$

ステップ 5.4

分子を簡約します。

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ステップ 5.4.1

$4$ に $1$ をかけます。

$5 \frac{4 + 4 (- {(\frac{9}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 - 9}$

ステップ 5.4.2

積の法則を $\frac{9}{4}$ に当てはめます。

$5 \frac{4 + 4 (- \frac{9^{6}}{4^{6}})}{4 \cdot 1 - 9}$

ステップ 5.4.3

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.3.1

$- \frac{9^{6}}{4^{6}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$5 \frac{4 + 4 \frac{- 9^{6}}{4^{6}}}{4 \cdot 1 - 9}$

ステップ 5.4.3.2

$4$ を $4^{6}$ で因数分解します。

$5 \frac{4 + 4 \frac{- 9^{6}}{4 \cdot 4^{5}}}{4 \cdot 1 - 9}$

ステップ 5.4.3.3

共通因数を約分します。

$5 \frac{4 + 4 \frac{- 9^{6}}{4 \cdot 4^{5}}}{4 \cdot 1 - 9}$

ステップ 5.4.3.4

式を書き換えます。

$5 \frac{4 + \frac{- 9^{6}}{4^{5}}}{4 \cdot 1 - 9}$

ステップ 5.4.4

$9$ を $6$ 乗します。

$5 \frac{4 + \frac{- 1 \cdot 531441}{4^{5}}}{4 \cdot 1 - 9}$

ステップ 5.4.5

$4$ を $5$ 乗します。

$5 \frac{4 + \frac{- 1 \cdot 531441}{1024}}{4 \cdot 1 - 9}$

ステップ 5.4.6

$- 1$ に $531441$ をかけます。

$5 \frac{4 + \frac{- 531441}{1024}}{4 \cdot 1 - 9}$

ステップ 5.4.7

分数の前に負数を移動させます。

$5 \frac{4 - \frac{531441}{1024}}{4 \cdot 1 - 9}$

ステップ 5.4.8

$4$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1024}{1024}$ を掛けます。

$5 \frac{4 \cdot \frac{1024}{1024} - \frac{531441}{1024}}{4 \cdot 1 - 9}$

ステップ 5.4.9

$4$ と $\frac{1024}{1024}$ をまとめます。

$5 \frac{\frac{4 \cdot 1024}{1024} - \frac{531441}{1024}}{4 \cdot 1 - 9}$

ステップ 5.4.10

公分母の分子をまとめます。

$5 \frac{\frac{4 \cdot 1024 - 531441}{1024}}{4 \cdot 1 - 9}$

ステップ 5.4.11

分子を簡約します。

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ステップ 5.4.11.1

$4$ に $1024$ をかけます。

$5 \frac{\frac{4096 - 531441}{1024}}{4 \cdot 1 - 9}$

ステップ 5.4.11.2

$4096$ から $531441$ を引きます。

$5 \frac{\frac{- 527345}{1024}}{4 \cdot 1 - 9}$

ステップ 5.4.12

分数の前に負数を移動させます。

$5 \frac{- \frac{527345}{1024}}{4 \cdot 1 - 9}$

ステップ 5.5

分母を簡約します。

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ステップ 5.5.1

$4$ に $1$ をかけます。

$5 \frac{- \frac{527345}{1024}}{4 - 9}$

ステップ 5.5.2

$4$ から $9$ を引きます。

$5 \frac{- \frac{527345}{1024}}{- 5}$

ステップ 5.6

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.6.1

$5$ を $- 5$ で因数分解します。

$5 \frac{- \frac{527345}{1024}}{5 (- 1)}$

ステップ 5.6.2

共通因数を約分します。

$5 \frac{- \frac{527345}{1024}}{5 \cdot - 1}$

ステップ 5.6.3

式を書き換えます。

$\frac{- \frac{527345}{1024}}{- 1}$

ステップ 5.7

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\frac{527345}{1024}}{1}$

ステップ 5.8

$\frac{527345}{1024}$ を $1$ で割ります。

$\frac{527345}{1024}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{527345}{1024}$

10進法形式：

$514.98535156 \dots$

帯分数形：

$514 \frac{1009}{1024}$

微分積分学準備 例

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