微分積分学準備例

$\sum_{k = 1}^{\infty} 3 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}$

ステップ 1

$a$ が第1項、 $r$ が連続する項の間の比の時、無限等比級数の和は公式 $\frac{a}{1 - r}$ を利用して求められます。

ステップ 2

公式 $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ に代入し簡約することで、連続する項の比を求めます。

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ステップ 2.1

$a_{k}$ と $a_{k + 1}$ を $r$ の公式に代入します。

$r = \frac{3 {(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}}{3 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.1

共通因数を約分します。

$r = \frac{3 {(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}}{3 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

ステップ 2.2.1.2

式を書き換えます。

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

ステップ 2.2.2

${(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}$ と ${(\frac{2}{3})}^{k - 1}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.1

${(\frac{2}{3})}^{k - 1}$ を ${(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}$ で因数分解します。

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

ステップ 2.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.2.1

$1$ を掛けます。

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} \cdot 1}$

ステップ 2.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} \cdot 1}$

ステップ 2.2.2.2.3

式を書き換えます。

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

ステップ 2.2.2.2.4

${(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}$ を $1$ で割ります。

$r = {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}$

ステップ 2.2.3

$k$ と $0$ をたし算します。

$r = {(\frac{2}{3})}^{k - (k - 1)}$

ステップ 2.2.4

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.4.1

分配則を当てはめます。

$r = {(\frac{2}{3})}^{k - k - - 1}$

ステップ 2.2.4.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$r = {(\frac{2}{3})}^{k - k + 1}$

ステップ 2.2.5

$k$ から $k$ を引きます。

$r = {(\frac{2}{3})}^{0 + 1}$

ステップ 2.2.6

$0$ と $1$ をたし算します。

$r = {(\frac{2}{3})}^{1}$

ステップ 2.2.7

簡約します。

$r = \frac{2}{3}$

ステップ 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

ステップ 4

下界に代入し簡約することで級数の第1項を求めます。

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ステップ 4.1

$k$ の $1$ を $3 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}$ に代入します。

$a = 3 {(\frac{2}{3})}^{1 - 1}$

ステップ 4.2

簡約します。

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ステップ 4.2.1

$1$ から $1$ を引きます。

$a = 3 {(\frac{2}{3})}^{0}$

ステップ 4.2.2

積の法則を $\frac{2}{3}$ に当てはめます。

$a = 3 \frac{2^{0}}{3^{0}}$

ステップ 4.2.3

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$a = 3 \frac{1}{3^{0}}$

ステップ 4.2.4

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$a = 3 (\frac{1}{1})$

ステップ 4.2.5

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.5.1

共通因数を約分します。

$a = 3 (\frac{1}{1})$

ステップ 4.2.5.2

式を書き換えます。

$a = 3 \cdot 1$

ステップ 4.2.6

$3$ に $1$ をかけます。

$a = 3$

ステップ 5

比と第1項の値を和の公式に代入します。

$\frac{3}{1 - \frac{2}{3}}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分母を簡約します。

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ステップ 6.1.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{3}{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}$

ステップ 6.1.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3}{\frac{3 - 2}{3}}$

ステップ 6.1.3

$3$ から $2$ を引きます。

$\frac{3}{\frac{1}{3}}$

ステップ 6.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$3 \cdot 3$

ステップ 6.3

$3$ に $3$ をかけます。

$9$

微分積分学準備 例

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