微分積分学準備例

$\sum_{1}^{6} {(- 1)}^{k} \cdot 4^{k}$

ステップ 1

$a$ が第1項、 $r$ が連続する項の間の比の時、有限等比級数の和は公式 $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ を利用して求められます。

ステップ 2

公式 $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ に代入し簡約することで、連続する項の比を求めます。

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ステップ 2.1

$a_{k}$ と $a_{k + 1}$ を $r$ の公式に代入します。

$r = \frac{{(- 1)}^{k + 1} \cdot 4^{k + 1}}{{(- 1)}^{k} \cdot 4^{k}}$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

${(- 1)}^{k + 1}$ と ${(- 1)}^{k}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.1

${(- 1)}^{k}$ を ${(- 1)}^{k + 1} \cdot 4^{k + 1}$ で因数分解します。

$r = \frac{{(- 1)}^{k} (- 4^{k + 1})}{{(- 1)}^{k} \cdot 4^{k}}$

ステップ 2.2.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.2.1

${(- 1)}^{k}$ を ${(- 1)}^{k} \cdot 4^{k}$ で因数分解します。

$r = \frac{{(- 1)}^{k} (- 4^{k + 1})}{{(- 1)}^{k} (4^{k})}$

ステップ 2.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$r = \frac{{(- 1)}^{k} (- 4^{k + 1})}{{(- 1)}^{k} \cdot 4^{k}}$

ステップ 2.2.1.2.3

式を書き換えます。

$r = \frac{- 4^{k + 1}}{4^{k}}$

ステップ 2.2.2

$4^{k + 1}$ と $4^{k}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.1

$4^{k}$ を $- 4^{k + 1}$ で因数分解します。

$r = \frac{4^{k} (- 1 \cdot 4)}{4^{k}}$

ステップ 2.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.2.1

$1$ を掛けます。

$r = \frac{4^{k} (- 1 \cdot 4)}{4^{k} \cdot 1}$

ステップ 2.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$r = \frac{4^{k} (- 1 \cdot 4)}{4^{k} \cdot 1}$

ステップ 2.2.2.2.3

式を書き換えます。

$r = \frac{- 1 \cdot 4}{1}$

ステップ 2.2.2.2.4

$- 1 \cdot 4$ を $1$ で割ります。

$r = - 1 \cdot 4$

ステップ 2.2.3

$- 1$ に $4$ をかけます。

$r = - 4$

ステップ 3

下界に代入し簡約することで級数の第1項を求めます。

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ステップ 3.1

$k$ の $1$ を ${(- 1)}^{k} \cdot 4^{k}$ に代入します。

$a = {(- 1)}^{1} \cdot 4^{1}$

ステップ 3.2

簡約します。

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ステップ 3.2.1

指数を求めます。

$a = - 1 \cdot 4^{1}$

ステップ 3.2.2

指数を求めます。

$a = - 1 \cdot 4$

ステップ 3.2.3

$- 1$ に $4$ をかけます。

$a = - 4$

ステップ 4

比、第1項、および項数の値を和の公式に代入します。

$- 4 \frac{1 - {(- 4)}^{6}}{1 - - 4}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$- 4$ を $6$ 乗します。

$- 4 \frac{1 - 1 \cdot 4096}{1 - - 4}$

ステップ 5.1.2

$- 1$ に $4096$ をかけます。

$- 4 \frac{1 - 4096}{1 - - 4}$

ステップ 5.1.3

$1$ から $4096$ を引きます。

$- 4 \frac{- 4095}{1 - - 4}$

ステップ 5.2

分母を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$- 4 \frac{- 4095}{1 + 4}$

ステップ 5.2.2

$1$ と $4$ をたし算します。

$- 4 (\frac{- 4095}{5})$

ステップ 5.3

$- 4095$ を $5$ で割ります。

$- 4 \cdot - 819$

ステップ 5.4

$- 4$ に $- 819$ をかけます。

$3276$

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