微分積分学準備例

$\sum_{n = 1}^{8} \frac{1}{3^{n}}$

ステップ 1

$a$ が第1項、 $r$ が連続する項の間の比の時、有限等比級数の和は公式 $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ を利用して求められます。

ステップ 2

公式 $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ に代入し簡約することで、連続する項の比を求めます。

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ステップ 2.1

$a_{n}$ と $a_{n + 1}$ を $r$ の公式に代入します。

$r = \frac{\frac{1}{3^{n + 1}}}{\frac{1}{3^{n}}}$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$r = \frac{1}{3^{n + 1}} \cdot 3^{n}$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{3^{n + 1}}$ と $3^{n}$ をまとめます。

$r = \frac{3^{n}}{3^{n + 1}}$

ステップ 2.2.3

$3^{n}$ と $3^{n + 1}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.3.1

$3^{n + 1}$ を $3^{n}$ で因数分解します。

$r = \frac{3^{n + 1} \cdot 3^{n - (n + 1)}}{3^{n + 1}}$

ステップ 2.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.3.2.1

$1$ を掛けます。

$r = \frac{3^{n + 1} \cdot 3^{n - (n + 1)}}{3^{n + 1} \cdot 1}$

ステップ 2.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$r = \frac{3^{n + 1} \cdot 3^{n - (n + 1)}}{3^{n + 1} \cdot 1}$

ステップ 2.2.3.2.3

式を書き換えます。

$r = \frac{3^{n - (n + 1)}}{1}$

ステップ 2.2.3.2.4

$3^{n - (n + 1)}$ を $1$ で割ります。

$r = 3^{n - (n + 1)}$

ステップ 2.2.4

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.4.1

分配則を当てはめます。

$r = 3^{n - n - 1 \cdot 1}$

ステップ 2.2.4.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$r = 3^{n - n - 1}$

ステップ 2.2.5

$n$ から $n$ を引きます。

$r = 3^{0 - 1}$

ステップ 2.2.6

$0$ から $1$ を引きます。

$r = 3^{- 1}$

ステップ 2.2.7

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$r = \frac{1}{3}$

ステップ 3

下界に代入し簡約することで級数の第1項を求めます。

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ステップ 3.1

$n$ の $1$ を $\frac{1}{3^{n}}$ に代入します。

$a = \frac{1}{3^{1}}$

ステップ 3.2

指数を求めます。

$a = \frac{1}{3}$

ステップ 4

比、第1項、および項数の値を和の公式に代入します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{8}}{1 - \frac{1}{3}}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

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ステップ 5.1.1

$\frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{8}}{1 - \frac{1}{3}}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{1}{3} (\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{8}}{1 - \frac{1}{3}})$

ステップ 5.1.2

まとめる。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 (1 - {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 (1 - \frac{1}{3})}$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{1}{3})}$

ステップ 5.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1

$- \frac{1}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 1}{3})}$

ステップ 5.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 1}{3})}$

ステップ 5.3.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.4

分子を簡約します。

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ステップ 5.4.1

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.4.2

積の法則を $\frac{1}{3}$ に当てはめます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + 3 (- \frac{1^{8}}{3^{8}})}{3 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.4.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.3.1

$- \frac{1^{8}}{3^{8}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + 3 \frac{- 1^{8}}{3^{8}}}{3 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.4.3.2

$3$ を $3^{8}$ で因数分解します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + 3 \frac{- 1^{8}}{3 \cdot 3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.4.3.3

共通因数を約分します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + 3 \frac{- 1^{8}}{3 \cdot 3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.4.3.4

式を書き換えます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + \frac{- 1^{8}}{3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.4.4

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 1}{3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.4.5

$3$ を $7$ 乗します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.4.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + \frac{- 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.4.7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \frac{1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.4.8

$3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2187}{2187}$ を掛けます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot \frac{2187}{2187} - \frac{1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.4.9

$3$ と $\frac{2187}{2187}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{3 \cdot 2187}{2187} - \frac{1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.4.10

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{3 \cdot 2187 - 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.4.11

分子を簡約します。

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ステップ 5.4.11.1

$3$ に $2187$ をかけます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{6561 - 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.4.11.2

$6561$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{6560}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.5

分母を簡約します。

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ステップ 5.5.1

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{6560}{2187}}{3 - 1}$

ステップ 5.5.2

$3$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{6560}{2187}}{2}$

ステップ 5.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{1}{3} (\frac{6560}{2187} \cdot \frac{1}{2})$

ステップ 5.7

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.7.1

$2$ を $6560$ で因数分解します。

$\frac{1}{3} (\frac{2 (3280)}{2187} \cdot \frac{1}{2})$

ステップ 5.7.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{3} (\frac{2 \cdot 3280}{2187} \cdot \frac{1}{2})$

ステップ 5.7.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3280}{2187}$

ステップ 5.8

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3280}{2187}$ を掛けます。

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ステップ 5.8.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{3280}{2187}$ をかけます。

$\frac{3280}{3 \cdot 2187}$

ステップ 5.8.2

$3$ に $2187$ をかけます。

$\frac{3280}{6561}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{3280}{6561}$

10進法形式：

$0.49992379 \dots$

微分積分学準備 例

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