微分積分学準備例

$lim_{x \to 0} \frac{\cot (2 x)}{\csc (6 x)}$

ステップ 1

三角関数の公式を当てはめます。

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ステップ 1.1

正弦と余弦に関して $\csc (6 x)$ を書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{\cot (2 x)}{\frac{1}{\sin (6 x)}}$

ステップ 1.2

正弦と余弦に関して $\cot (2 x)$ を書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{1}{\sin (6 x)}}$

ステップ 1.3

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\sin (6 x)}$ で割ります。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sin (6 x)$

ステップ 1.4

$\sin (6 x)$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \cdot \frac{\sin (6 x)}{1}$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$\sin (6 x)$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sin (6 x)$

ステップ 1.5.2

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ を $\cot (2 x)$ に変換します。

$lim_{x \to 0} \cot (2 x) \sin (6 x)$

ステップ 2

左側極限を考えます。

$lim_{x \to 0^{-}} \cot (2 x) \sin (6 x)$

ステップ 3

表を作り、 $x$ が左から $0$ に近づくときの関数 $\cot (2 x) \sin (6 x)$ の動作を表します。

$\begin{array}{c} x & \cot (2 x) \sin (6 x) \\ - 0.1 & 2.78546877 \\ - 0.01 & 2.99780055 \\ - 0.001 & 2.999978 \\ - 0.0001 & 2.99999978 \end{array}$

ステップ 4

$x$ 値が $0$ に近づくので、関数の値は $3$ に近づきます。ゆえに、 $x$ が左から $0$ に近づくときの $\cot (2 x) \sin (6 x)$ の極限は $3$ です。

$3$

ステップ 5

右側極限を考えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \cot (2 x) \sin (6 x)$

ステップ 6

表を作り、 $x$ が右から $0$ に近づくときの関数 $\cot (2 x) \sin (6 x)$ の動作を表します。

$\begin{array}{c} x & \cot (2 x) \sin (6 x) \\ 0.1 & 2.78546877 \\ 0.01 & 2.99780055 \\ 0.001 & 2.999978 \\ 0.0001 & 2.99999978 \end{array}$

ステップ 7

$x$ 値が $0$ に近づくので、関数の値は $3$ に近づきます。ゆえに、 $x$ が右から $0$ に近づくときの $\cot (2 x) \sin (6 x)$ の極限は $3$ です。

$3$

微分積分学準備 例