微分積分学準備例

$lim_{x \to 0} \frac{{(2 - x)}^{4} - 16}{x}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} {(2 - x)}^{4} - 16}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} {(2 - x)}^{4} - lim_{x \to 0} 16}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.2

極限べき乗則を利用して、指数 $4$ を ${(2 - x)}^{4}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 0} 2 - x)}^{4} - lim_{x \to 0} 16}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.3

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{{(lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} x)}^{4} - lim_{x \to 0} 16}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.4

$x$ が $0$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{{(2 - lim_{x \to 0} x)}^{4} - lim_{x \to 0} 16}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.5

$x$ が $0$ に近づくと定数である $16$ の極限値を求めます。

$\frac{{(2 - lim_{x \to 0} x)}^{4} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.6

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{{(2 + 0)}^{4} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.6.2

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.2.1.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2^{4} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.6.2.1.2

$2$ を $4$ 乗します。

$\frac{16 - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.6.2.1.3

$- 1$ に $16$ をかけます。

$\frac{16 - 16}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.6.2.2

$16$ から $16$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{{(2 - x)}^{4} - 16}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 - x)}^{4} - 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 - x)}^{4} - 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 ${(2 - x)}^{4} - 16$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [{(2 - x)}^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 - x)}^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3

$\frac{d}{d x} [{(2 - x)}^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = 2 - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 - x$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [2 - x] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{4 u^{3} \frac{d}{d x} [2 - x] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3.1.3

$u$ のすべての発生を $2 - x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{4 {(2 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [2 - x] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3.2

総和則では、 $2 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{4 {(2 - x)}^{3} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3.3

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{4 {(2 - x)}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{4 {(2 - x)}^{3} (0 - \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{4 {(2 - x)}^{3} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{4 {(2 - x)}^{3} (0 - 1) + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3.7

$0$ から $1$ を引きます。

$lim_{x \to 0} \frac{4 {(2 - x)}^{3} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3.8

$- 1$ に $4$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 {(2 - x)}^{3} + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.4

$- 16$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 16$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 {(2 - x)}^{3} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.5

$- 4 {(2 - x)}^{3}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 {(2 - x)}^{3}}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 {(2 - x)}^{3}}{1}$

ステップ 1.4

$- 4 {(2 - x)}^{3}$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to 0} - 4 {(2 - x)}^{3}$

ステップ 2

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$- 4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- 4 lim_{x \to 0} {(2 - x)}^{3}$

ステップ 2.2

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を ${(2 - x)}^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$- 4 {(lim_{x \to 0} 2 - x)}^{3}$

ステップ 2.3

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$- 4 {(lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} x)}^{3}$

ステップ 2.4

$x$ が $0$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$- 4 {(2 - lim_{x \to 0} x)}^{3}$

ステップ 2.5

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$- 4 {(2 + 0)}^{3}$

ステップ 2.5.2

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$- 4 \cdot 2^{3}$

ステップ 2.5.2.2

$2$ を $3$ 乗します。

$- 4 \cdot 8$

ステップ 2.5.2.3

$- 4$ に $8$ をかけます。

$- 32$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例