微分積分学準備例

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) - \cos (x)}{4 x^{2}}$

ステップ 1

$\frac{1}{4}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) - \cos (x)}{x^{2}}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (5 x) - \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 2.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (5 x) - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 2.1.2.2

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} 5 x) - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 2.1.2.3

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 2.1.2.4

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 2.1.2.5

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\cos (5 \cdot 0) - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 2.1.2.5.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\cos (5 \cdot 0) - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 2.1.2.6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.6.1.1

$5$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\cos (0) - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 2.1.2.6.1.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 2.1.2.6.1.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 2.1.2.6.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 2.1.2.6.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 2.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0^{2}}$

ステップ 2.1.3.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 2.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 2.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 2.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) - \cos (x)}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (5 x) - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (5 x) - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 2.3.2

総和則では、 $\cos (5 x) - \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ です。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 2.3.3

$\frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 5 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $5 x$ とします。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 2.3.3.1.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (u) \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 2.3.3.1.3

$u$ のすべての発生を $5 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 2.3.3.2

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (5 x) \cdot 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 2.3.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 2.3.3.4

$5$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (5 x) \cdot 5 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 2.3.3.5

$5$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin (5 x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 2.3.4

$\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cos (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin (5 x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 2.3.4.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin (5 x) - - 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 2.3.4.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin (5 x) + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 2.3.4.4

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin (5 x) + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 2.3.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin (5 x) + \sin (x)}{2 x}$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin (5 x) + \sin (x)}{x}$

ステップ 4

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} - 5 \sin (5 x) + \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 4.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{- lim_{x \to 0} 5 \sin (5 x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 4.1.2.2

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 5 lim_{x \to 0} \sin (5 x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 4.1.2.3

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 5 \sin (lim_{x \to 0} 5 x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 4.1.2.4

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 5 \sin (5 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 4.1.2.5

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 5 \sin (5 lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 4.1.2.6

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.6.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 5 \sin (5 \cdot 0) + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 4.1.2.6.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 5 \sin (5 \cdot 0) + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 4.1.2.7

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.7.1.1

$5$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 5 \sin (0) + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 4.1.2.7.1.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 5 \cdot 0 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 4.1.2.7.1.3

$- 5$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{0 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 4.1.2.7.1.4

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 4.1.2.7.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 4.1.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{0}$

ステップ 4.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{0}$

ステップ 4.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin (5 x) + \sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 5 \sin (5 x) + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 4.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

分母と分子を微分します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 5 \sin (5 x) + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 4.3.2

総和則では、 $- 5 \sin (5 x) + \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 5 \sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 5 \sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 4.3.3

$\frac{d}{d x} [- 5 \sin (5 x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 \sin (5 x)$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$ です。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \frac{d}{d x} [\sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 4.3.3.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 5 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $5 x$ とします。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 4.3.3.2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \cos (u) \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 4.3.3.2.3

$u$ のすべての発生を $5 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 4.3.3.3

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \cos (5 x) \cdot 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 4.3.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 4.3.3.5

$5$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \cos (5 x) \cdot 5 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 4.3.3.6

$5$ を $\cos (5 x)$ の左に移動させます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \cdot 5 \cdot \cos (5 x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 4.3.3.7

$5$ に $- 5$ をかけます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 25 \cos (5 x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 4.3.4

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 25 \cos (5 x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 4.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 25 \cos (5 x) + \cos (x)}{1}$

ステップ 4.4

$- 25 \cos (5 x) + \cos (x)$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} - 25 \cos (5 x) + \cos (x)$

ステップ 5

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} (- lim_{x \to 0} 25 \cos (5 x) + lim_{x \to 0} \cos (x))$

ステップ 5.2

$25$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} (- 25 lim_{x \to 0} \cos (5 x) + lim_{x \to 0} \cos (x))$

ステップ 5.3

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} (- 25 \cos (lim_{x \to 0} 5 x) + lim_{x \to 0} \cos (x))$

ステップ 5.4

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} (- 25 \cos (5 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos (x))$

ステップ 5.5

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} (- 25 \cos (5 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x))$

ステップ 6

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} (- 25 \cos (5 \cdot 0) + \cos (lim_{x \to 0} x))$

ステップ 6.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} (- 25 \cos (5 \cdot 0) + \cos (0))$

ステップ 7

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

$\frac{1}{4}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{4 \cdot 2} (- 25 \cos (5 \cdot 0) + \cos (0))$

ステップ 7.1.2

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{8} (- 25 \cos (5 \cdot 0) + \cos (0))$

ステップ 7.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$5$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{8} (- 25 \cos (0) + \cos (0))$

ステップ 7.2.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{8} (- 25 \cdot 1 + \cos (0))$

ステップ 7.2.3

$- 25$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{8} (- 25 + \cos (0))$

ステップ 7.2.4

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{8} (- 25 + 1)$

ステップ 7.3

$- 25$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{8} \cdot - 24$

ステップ 7.4

$8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1

$8$ を $- 24$ で因数分解します。

$\frac{1}{8} \cdot (8 (- 3))$

ステップ 7.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{8} \cdot (8 \cdot - 3)$

ステップ 7.4.3

式を書き換えます。

$- 3$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例