微分積分学準備例

$lim_{x \to 8} {(\frac{2 x - 1}{x + 2})}^{\frac{1}{x - 3}}$

ステップ 1

対数の性質を利用して極限を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

${(\frac{2 x - 1}{x + 2})}^{\frac{1}{x - 3}}$ を $e^{\ln ({(\frac{2 x - 1}{x + 2})}^{\frac{1}{x - 3}})}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(\frac{2 x - 1}{x + 2})}^{\frac{1}{x - 3}})}$

ステップ 1.2

$\frac{1}{x - 3}$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(\frac{2 x - 1}{x + 2})}^{\frac{1}{x - 3}})$ を展開します。

$lim_{x \to 8} e^{\frac{1}{x - 3} \ln (\frac{2 x - 1}{x + 2})}$

ステップ 2

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

指数に極限を移動させます。

$e^{lim_{x \to 8} \frac{1}{x - 3} \ln (\frac{2 x - 1}{x + 2})}$

ステップ 2.2

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$e^{lim_{x \to 8} \frac{1}{x - 3} \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{2 x - 1}{x + 2})}$

ステップ 2.3

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$e^{\frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x - 3} \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{2 x - 1}{x + 2})}$

ステップ 2.4

$x$ が $8$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x - 3} \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{2 x - 1}{x + 2})}$

ステップ 2.5

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 3} \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{2 x - 1}{x + 2})}$

ステップ 2.6

$x$ が $8$ に近づくと定数である $3$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3} \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{2 x - 1}{x + 2})}$

ステップ 2.7

対数の内側に極限を移動させます。

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3} \cdot \ln (lim_{x \to 8} \frac{2 x - 1}{x + 2})}$

ステップ 2.8

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3} \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} 2 x - 1}{lim_{x \to 8} x + 2})}$

ステップ 2.9

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3} \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} 2 x - lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x + 2})}$

ステップ 2.10

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3} \cdot \ln (\frac{2 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x + 2})}$

ステップ 2.11

$x$ が $8$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3} \cdot \ln (\frac{2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 8} x + 2})}$

ステップ 2.12

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3} \cdot \ln (\frac{2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 2})}$

ステップ 2.13

$x$ が $8$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3} \cdot \ln (\frac{2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 8} x + 2})}$

ステップ 3

すべての $x$ に $8$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{1}{8 - 1 \cdot 3} \cdot \ln (\frac{2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 8} x + 2})}$

ステップ 3.2

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{1}{8 - 1 \cdot 3} \cdot \ln (\frac{2 \cdot 8 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 8} x + 2})}$

ステップ 3.3

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{1}{8 - 1 \cdot 3} \cdot \ln (\frac{2 \cdot 8 - 1 \cdot 1}{8 + 2})}$

ステップ 4

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$e^{\frac{1}{8 - 3} \cdot \ln (\frac{2 \cdot 8 - 1 \cdot 1}{8 + 2})}$

ステップ 4.1.2

$8$ から $3$ を引きます。

$e^{\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{2 \cdot 8 - 1 \cdot 1}{8 + 2})}$

ステップ 4.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$2$ に $8$ をかけます。

$e^{\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{16 - 1 \cdot 1}{8 + 2})}$

ステップ 4.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$e^{\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{16 - 1}{8 + 2})}$

ステップ 4.2.3

$16$ から $1$ を引きます。

$e^{\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{15}{8 + 2})}$

ステップ 4.3

$8$ と $2$ をたし算します。

$e^{\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{15}{10})}$

ステップ 4.4

$15$ と $10$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

$5$ を $15$ で因数分解します。

$e^{\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{5 (3)}{10})}$

ステップ 4.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1

$5$ を $10$ で因数分解します。

$e^{\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 2})}$

ステップ 4.4.2.2

共通因数を約分します。

$e^{\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 2})}$

ステップ 4.4.2.3

式を書き換えます。

$e^{\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{3}{2})}$

ステップ 4.5

$\frac{1}{5}$ と $\ln (\frac{3}{2})$ をまとめます。

$e^{\frac{\ln (\frac{3}{2})}{5}}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$e^{\frac{\ln (\frac{3}{2})}{5}}$

10進法形式：

$1.08447177 \dots$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例